《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. (四川高考)若$a＞b＞0,c＜d＜0$则一定有 (D)

A.$\frac{a}{c}＞\frac{b}{d}$
B.$\frac{a}{c}＜\frac{b}{d}$
C.$\frac{a}{d}＞\frac{b}{c}$
D.$\frac{a}{d}＜\frac{b}{c}$

答案： 1.D 解析：已知$a＞b＞0$,$c＜d＜0$,所以$-\frac{1}{d}＞-\frac{1}{c}＞0$,所以$-\frac{a}{d}＞-\frac{b}{c}$,故$\frac{a}{d}＜\frac{b}{c}$,故选$D$.

2. (辽宁高考)已知$-1＜x + y＜4$且$2＜x - y＜3$，则$z = 2x - 3y$的取值范围是 (3,8). (答案用区间表示)

答案： 2.$(3,8)$ 解析：设$z = 2x - 3y = a(x + y) + b(x - y)$,则$\begin{cases}a = -\frac{1}{2}\\a - b = 2\\a + b = -3\end{cases}$（此处原解析存在表述问题，正确为$\begin{cases}a + b = 2\\a - b = -3\end{cases}$），解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2}\\b = \frac{5}{2}\end{cases}$,即$z = -\frac{1}{2}(x + y) + \frac{5}{2}(x - y)$.
$\because -1 ＜ x + y ＜ 4$且$2 ＜ x - y ＜ 3$,$\therefore -2 ＜ -\frac{1}{2}(x + y) ＜ \frac{1}{2}$且$5 ＜ \frac{5}{2}(x - y) ＜ \frac{15}{2}$,$3 ＜ -\frac{1}{2}(x + y) + \frac{5}{2}(x - y) ＜ 8$.故答案为$(3,8)$.

3. (江苏高考)设实数$x,y$满足$3\leqslant xy^{2}\leqslant8,4\leqslant\frac{x^{2}}{y}\leqslant9$，则$\frac{x^{3}}{y^{4}}$的最大值是 27.

答案： 3.27 解析：$\frac{x^{3}}{y^{4}} · \frac{x^{4}}{y^{2}} = \frac{x^{2}}{xy^{2}} = (\frac{x^{2}}{y})^{2} · \frac{1}{xy^{2}} \leq 81 × \frac{1}{3} = 27$,当且仅当$\frac{x^{2}}{y} = 9$,$xy^{2} = 3$,即$x = 3$,$y = 1$时等号成立.故答案为27.

4. (浙江高考)若$a＞0,b＞0$，则“$a + b\leqslant4$”是“$ab\leqslant4$”的 (A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 4.A 解析：当$a ＞ 0$,$b ＞ 0$时,$a + b \geq 2\sqrt{ab}$,则当$a + b \leq 4$时,有$2\sqrt{ab} \leq a + b \leq 4$,解得$ab \leq 4$,充分性成立;当$a = 1$,$b = 4$时,满足$ab \leq 4$,但此时$a + b = 5 ＞ 4$,必要性不成立.综上所述,“$a + b \leq 4$”是“$ab \leq 4$”的充分不必要条件.故选A.

5. (多选)(2022·新高考全国Ⅱ)若$x,y$满足$x^{2}+y^{2}-xy = 1$，则 (BC)

A.$x + y\leqslant1$
B.$x + y\geqslant - 2$
C.$x^{2}+y^{2}\leqslant2$
D.$x^{2}+y^{2}\geqslant1$

答案： 5.BC 解析：$x^{2} + y^{2} - xy = 1$可变形为$(x + y)^{2} - 1 = 3xy \leq 3(\frac{x + y}{2})^{2}$,解得$-2 \leq x + y \leq 2$,且当仅当$x = y = -1$时,$x + y = -2$,当且仅当$x = y = 1$时,$x + y = 2$,所以A错误,B正确;由$x^{2} + y^{2} - xy = 1$可变形为$(x^{2} + y^{2}) - 1 = xy \leq \frac{x^{2} + y^{2}}{2}$,解得$x^{2} + y^{2} \leq 2$,且仅当$x = y = \pm 1$时取等号,所以C正确;因为$x^{2} + y^{2} \geq 2\sqrt{x^{2}y^{2}} = 2|xy|$,当$xy ＜ 0$,即$x$,$y$异号时,$x^{2} + y^{2} \geq -2xy$,由$x^{2} + y^{2} - xy = 1$可变形为$1 - (x^{2} + y^{2}) = -xy \leq \frac{x^{2} + y^{2}}{2}$,解得$x^{2} + y^{2} \geq \frac{2}{3}$,当且仅当$x = -y$,即$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$,$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$或$x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$,$y = \frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号,所以D错误.故选BC.

6. (浙江高考)若正数$x,y$满足$x + 3y = 5xy$，则$3x + 4y$的最小值是 (C)

A.$\frac{24}{5}$
B.$\frac{28}{5}$
C.5
D.6

答案： 6.C 解析：由已知可得$\frac{3}{5x} + \frac{1}{5y} = 1$,则$3x + 4y = (\frac{3}{5x} + \frac{1}{5y})(3x + 4y) = \frac{9}{5} + \frac{4}{5} + \frac{12y}{5x} + \frac{3x}{5y} \geq \frac{13}{5} + 2\sqrt{\frac{12y}{5x} · \frac{3x}{5y}} = 5$,所以$3x + 4y$的最小值是5.故选C.

7. (天津高考)已知$a＞0,b＞0$，且$ab = 1$，则$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{8}{a + b}$的最小值为 4.

答案： 7.4 解析：$\because a ＞ 0$,$b ＞ 0$,$ab = 1$,$\therefore a + b ＞ 0$,$\therefore \frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} + \frac{8}{a + b} = \frac{ab}{2a} + \frac{ab}{2b} + \frac{8}{a + b} = \frac{b}{2} + \frac{a}{2} + \frac{8}{a + b} \geq 2\sqrt{\frac{a + b}{2} · \frac{8}{a + b}} = 4$,当且仅当$\frac{a + b}{2} = \frac{8}{a + b}$时取等号,结合$ab = 1$,解得$a = 2 - \sqrt{3}$,$b = 2 + \sqrt{3}$或$a = 2 + \sqrt{3}$,$b = 2 - \sqrt{3}$时,等号成立.故答案为4.

8. (江苏高考)已知$5x^{2}y^{2}+y^{4}=1(x,y\in\mathbf{R})$，则$x^{2}+y^{2}$的最小值是 $\frac{4}{5}$.

答案： 8.$\frac{4}{5}$ 解析：$\because 5x^{2}y^{2} + y^{4} = 1$,$\therefore y \neq 0$且$x^{2} = \frac{1 - y^{4}}{5y^{2}}$,$\therefore x^{2} + y^{2} = \frac{1 - y^{4}}{5y^{2}} + y^{2} = \frac{1}{5y^{2}} + \frac{4y^{2}}{5} \geq 2\sqrt{\frac{1}{5y^{2}} · \frac{4y^{2}}{5}} = \frac{4}{5}$,当且仅当$\frac{1}{5y^{2}} = \frac{4y^{2}}{5}$,即$x^{2} = \frac{3}{10}$,$y^{2} = \frac{1}{2}$时取等号.$\therefore x^{2} + y^{2}$的最小值为$\frac{4}{5}$.故答案为$\frac{4}{5}$.

9. (天津高考)若$a＞0,b＞0$，则$\frac{1}{a}+\frac{a}{b^{2}}+b$的最小值为 $2\sqrt{2}$.

答案： 9.$2\sqrt{2}$ 解析：$\because a ＞ 0$,$b ＞ 0$,$\therefore \frac{1}{a} + \frac{a}{b^{2}} + b \geq 2\sqrt{\frac{a}{b^{2}} · \frac{1}{a}} + b = \frac{2}{b} + b \geq 2\sqrt{\frac{2}{b} · b} = 2\sqrt{2}$,当且仅当$\frac{1}{a} = \frac{a}{b^{2}}$且$\frac{2}{b} = b$,即$a = b = \sqrt{2}$时等号成立,所以$\frac{1}{a} + \frac{a}{b^{2}} + b$的最小值为$2\sqrt{2}$.故答案为$2\sqrt{2}$.

10. (天津高考)设$x＞0,y＞0,x + 2y = 4$，则$\frac{(x + 1)(2y + 1)}{xy}$的最小值为 $\frac{9}{2}$.

答案： 10.$\frac{9}{2}$ 解析：由$x + 2y = 4$,得$x + 2y = 4 \geq 2\sqrt{2xy}$,得$xy \leq 2$,$\frac{(x + 1)(2y + 1)}{xy} = \frac{2xy + x + 2y + 1}{xy} = \frac{2xy + 5}{xy} = 2 + \frac{5}{xy} \geq 2 + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$,当且仅当$x = 2y$,即$x = 2$,$y = 1$时等号成立.答案为$\frac{9}{2}$.

11. (2023·新课标全国Ⅰ)已知集合$M=\{-2,-1,0,1,2\},N = \{x|x^{2}-x - 6\geqslant0\}$，则$M\cap N=$ (C)

A.$\{-2,-1,0,1\}$
B.$\{0,1,2\}$
C.$\{-2\}$
D.$\{2\}$

答案： 11.C 解析：因为$N = \{x|x^{2} - x - 6 \geq 0\} = (-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$,而$M = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$,所以$M \cap N = \{-2\}$.故选C.

12. (全国高考)不等式$\frac{x - 2}{x + 3}＞0$的解集是 (C)

A.$(-3,2)$
B.$(2,+\infty)$
C.$(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)$
D.$(-\infty,-2)\cup(3,+\infty)$

答案： 12.C 解析：由$\frac{x - 2}{x + 3} ＞ 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x + 3) ＞ 0$,解得$x ＞ 2$或$x ＜ -3$.故选C.

13. (天津高考)设$x\in\mathbf{R}$，则“$\vert x - 2\vert＜1$”是“$x^{2}+x - 2＞0$”的 (A)

A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 13.A 解析：由$|x - 2| ＜ 1$,可得$1 ＜ x ＜ 3$,即$x \in (1, 3)$;由$x^{2} + x - 2 = (x - 1)(x + 2) ＞ 0$,可得$x ＜ -2$或$x ＞ 1$,即$x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$.$\therefore (1, 3)$是$(-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$的真子集,故“$|x - 2| ＜ 1$”是“$x^{2} + x - 2 ＞ 0$”的充分不必要条件.故选A.

14. (重庆高考)关于$x$的不等式$x^{2}-2ax - 8a^{2}＜0(a＞0)$的解集为$(x_{1},x_{2})$，且$x_{2}-x_{1}=15$，则$a =$ (A)

A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\frac{15}{4}$
D.$\frac{15}{2}$

答案： 14.A 解析：因为关于$x$的不等式$x^{2} - 2ax - 8a^{2} ＜ 0(a ＞ 0)$的解集为$(x_1, x_2)$,所以$x_1 + x_2 = 2a$,$x_1x_2 = -8a^{2}$,又$x_2 - x_1 = 15$,所以$(x_2 - x_1)^{2} = (x_2 + x_1)^{2} - 4x_1x_2 = 36a^{2} = 15^{2}$,解得$a = \pm \frac{5}{2}$.因为$a ＞ 0$,所以$a = \frac{5}{2}$.故选A.

15. (山东高考)当$x\in(1,2)$时，不等式$x^{2}+mx + 4＜0$恒成立，则$m$的取值范围是 $(-\infty, -5]$.

答案： 15.$(-\infty, -5]$ 解析：令$y = x^{2} + mx + 4$,则$y = x^{2} + mx + 4$的图象是开口向上的抛物线,要使当$x \in (1, 2)$时,$y ＜ 0$恒成立,只需$\begin{cases}1^{2} + m · 1 + 4 \leq 0\\2^{2} + m · 2 + 4 \leq 0\end{cases}$,解得$m \leq -5$.