《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. * (2025·江苏无锡高一期中)命题“任意$ x＞1 $,则$ 3x - 1＞5 $”的否定是 (C)

A.任意$ x\leqslant1 $,则$ 3x - 1\leqslant5 $
B.存在$ x\leqslant1 $,则$ 3x - 1\leqslant5 $
C.存在$ x＞1 $,则$ 3x - 1\leqslant5 $
D.任意$ x＞1 $,则$ 3x - 1\leqslant5 $

答案： 1.C 解析：全称量词命题“任意x＞1，则3x-1＞5”的否定是存在量词命题“存在x＞1,则$3x-1\leqslant5”.$故选C.

2. * (2025·江苏苏州高一期中)命题“$ \exists x\in(0,+\infty),\frac{1}{x^{2}}\lt x $”的否定为 (A)

A.$ \forall x\in(0,+\infty),\frac{1}{x^{2}}\geqslant x $
B.$ \forall x\in(0,+\infty),\frac{1}{x^{2}}\lt x $
C.$ \exists x\in(0,+\infty),\frac{1}{x^{2}}\geqslant x $
D.$ \exists x\in(0,+\infty),\frac{1}{x^{2}}\leqslant x $

答案： 2.A 解析：根据存在量词命题的否定形式可知命题“$\exists x\in (0,+\infty),\frac {1}{x^{2}}＜x$”的否定为“$\forall x\in(0,+\infty),\frac {1}{x^{2}}\geqslant x$”.故选A.
方法总结
写含有量词的命题的否定时，一是要改写量词，即把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词；二是要否定结论.

3.** 写出命题“存在实数x,y,z,使x=y或y=z”的否定：对任意的实数x,y,z,有x=y=z。

答案： 3.对任意的实数x,y,z,有x=y=z

4. ** (2025·江苏连云港高一月考)下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有 (A)

A.$ \exists x\in\mathbf{R},x^{2}-x+\frac{1}{4}\lt0 $
B.所有的正方形都是矩形
C.$ \exists x\in\mathbf{R},x^{2}+2x + 2＞0 $
D.至少有一个实数$ x $,使$ x^{3}+1 = 0 $

答案： 4.A 解析：对于A,A是存在量词命题,其否定为$\forall x\in R,x^{2}-x+\frac {1}{4}\geqslant0$,即$(x-\frac {1}{2})^{2}\geqslant0$为真命题,A正确;对于B,
∵B是全称量词命题,其否定为存在量词命题,故B排除;对于C,C是存在量词命题,其否定为$\forall x\in R,x^{2}+2x+2\leqslant0$,即$(x+1)^{2}+1\leqslant0$为假命题,C错误;对于D,D是存在量词命题,其否定为任意实数x，都有$x^{3}+1\neq0$,将x=-1代入不成立,为假命题,D错误.故选A.

5. ** (多选)集合$ A=\{x|x - 1＞2\} $,集合$ B=\{x|x\lt - 1 或 x＞2\} $,则下列命题的否定为假命题的是 (BD)

A.$ \forall x\in B,x\in A $
B.$ \exists x\in B,x\notin A $
C.$ \exists x\in A,x\notin B $
D.$ \forall x\in A,x\in B $

答案： 5.BD 解析：因为$A=\{x|x＞3\},B=\{x|x＜-1或x＞2\}$,则A⊆B.对于A,原命题的否定为“$\exists x\in B,x\notin A$”,当x＜-1时,满足$x\in B,x\notin A$,即原命题的否定为真命题,故A不符合题意;对于B,原命题的否定为“$\forall x\in B,x\in A$”,当x＜-1时,$x\in B$,$x\notin A$,即原命题的否定为假命题,故B符合题意;对于C,原命题的否定为“$\forall x\in A,x\in B$”,因为A⊆B,所以原命题的否定为真命题,故C不符合题意;对于D,原命题的否定为“$\exists x\in A,x\notin B$”,因为A⊆B,所以原命题的否定为假命题,故D符合题意.故选BD.

6. \*\* (2025·福建三明高一期中)已知命题$ p:\forall x\geqslant0,x^{2}＞-x $,命题$ q:\exists x\lt0,x^{3}+1\lt0 $,则 (C)

A.$ p $和$ q $均为真命题
B.$ p $和$ \neg q $均为真命题
C.$ \neg p $和$ q $均为真命题
D.$ \neg p $和$ \neg q $均为真命题

答案： 6.C 解析：对于命题p,当x=0时,$x^{2}=-x$,所以p为假命题,故命题¬p为真命题;对于命题q,当x=-2时,$x^{3}+1=-7＜0$,所以q为真命题,故命题¬q为假命题.综上可知,¬p和q均为真命题.故选C.

7. \*\* (2025·广东广州高一月考)写出下面这些命题的否定,并判断其否定命题的真假:
(1)$ \forall x\in\mathbf{Z},x^{2} $与$ 3 $的和不等于$ 0 $;
(2)三角形的三个内角都为$ 60^{\circ} $;
(3)存在一个实数$ x $,使$ \frac{1}{x}＞2 $.

答案： 7.解：
(1)$\exists x\in Z,x^{2}+3=0$,假命题.
(2)存在一个三角形的三个内角不都为60°,真命题.
(3)$\forall x\in R,\frac {1}{x}\leqslant2$,假命题.

8. \*\*\* (2025·山东师大附中高一期中)若命题“$ \exists x\in\mathbf{R} $,使得$ ax + 2 = 0 $”是假命题,则实数$ a $的取值范围为 (C)

A.$ \{a|a＞0\} $
B.$ \{a|a＞2\} $
C.$ \{0\} $
D.$ \{a|a＞2 或 a = 0\} $

答案： 8.C 解析：当a=0时,方程ax+2=0无解,当a≠0时,方程ax+2=0的解为x=$-\frac {2}{a}$,所以实数a的取值范围为{0}.故选C.

9. \*\*\* (2025·四川眉山高一期中)若命题“$ \forall x\in[0,3] $,都有$ x^{2}-2x - m\neq0 $”是假命题,则实数$ m $的取值范围是[-1,3]。

答案： 9.[-1,3] 解析：命题“$\forall x\in[0,3]$,都有$x^{2}-2x-m\neq0$”是假命题,则命题“$\exists x\in[0,3]$,使得$x^{2}-2x-m=0$成立”是真命题,故$m=x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$.由于$x\in[0,3]$,所以$m\in[-1,3]$.故答案为[-1,3].
重难点拨
若一个命题为假命题,则它的否定为真命题.在已知一个命题真假求参数时,如果直接求解不易得出答案,也可以采取间接法,通过求解其否定中的参数取值范围,再取其补集来得出答案.