《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

11. * (2025·陕西咸阳高一期中)某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计6 400元。设劳动基地的左、右两面墙的长度均为$x(6\leq x\leq 12)$米，原有墙体足够长。
(1) 当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2) 现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为$\frac{320a(1 + x)}{x}(a ＞ 0)$元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求$a$的取值范围。

答案： 11.解：
(1)设甲工程队的总报价为y元，依题意，左、右两面墙的长度均为$x(6\leq x\leq12)$米，则长方体前面新建墙体的长度为$\frac{100}{x}$米，所以$y = 160·2x·1 + 320·\frac{100}{x}·1 + 6400，$即$y = 320(x+\frac{100}{x})+6400\geq320×2\sqrt{x·\frac{100}{x}}+6400 = 12800，$当且仅当$x=\frac{100}{x}，$即x = 10时，等号成立.故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为12800元.
(2)由题意可知，$320(x+\frac{100}{x})+6400＞\frac{320a(1 + x)}{x}，$即$(x + 10)^2＞\frac{a(1 + x)}{x}，$可得a＜\frac{(x + 10)^2}{x + 1}，即a＜[\frac{(x + 10)^2}{x + 1}]_{\min}，$\frac{(x + 10)^2}{x + 1}=\frac{(x + 1)^2 + 18(x + 1) + 81}{x + 1}=x + 1+\frac{81}{x + 1}+18\geq2\sqrt${(x +

12. (2025·四川德阳高一月考)已知$a ＞ 0,b ＞ 0,c ＞ 0$，且$a + b + c = 1$，求证：
(1) $\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b}\geq 1$；
(2) $(1 + a)(1 + b)(1 + c)\geq 8(1 - a)(1 - b)·(1 - c)$。

答案：
(1)
由$a\gt0,b\gt0,c\gt0$，根据均值不等式有$\frac{a^{2}}{c}+c\geqslant2\sqrt{\frac{a^{2}}{c}× c} = 2a$（当且仅当$\frac{a^{2}}{c}=c$即$a = c$时取等号），
$\frac{b^{2}}{a}+a\geqslant2\sqrt{\frac{b^{2}}{a}× a}=2b$（当且仅当$\frac{b^{2}}{a}=a$即$b = a$时取等号），
$\frac{c^{2}}{b}+b\geqslant2\sqrt{\frac{c^{2}}{b}× b}=2c$（当且仅当$\frac{c^{2}}{b}=b$即$b = c$时取等号）。
将以上三式相加得$(\frac{a^{2}}{c}+c)+(\frac{b^{2}}{a}+a)+(\frac{c^{2}}{b}+b)\geqslant2a + 2b+2c$，
即$\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b}\geqslant a + b + c$。
因为$a + b + c = 1$，所以$\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b}\geqslant1$（当且仅当$a = b = c=\frac{1}{3}$时取等号）。
(2)
因为$a + b + c = 1$，所以$1+a=(a + b + c)+a = 2a + b + c$，$1 - a=(b + c)$；
$1 + b=(a + 2b + c)$，$1 - b=(a + c)$；$1 + c=(a + b + 2c)$，$1 - c=(a + b)$。
由$a\gt0,b\gt0,c\gt0$，根据基本不等式$m+n\geqslant2\sqrt{mn}$（$m\gt0,n\gt0$，当且仅当$m = n$时取等号）有：
$1 + a=2a + b + c=(a + b)+(a + c)\geqslant2\sqrt{(a + b)(a + c)}=2\sqrt{(1 - c)(1 - b)}$，
同理$1 + b\geqslant2\sqrt{(1 - c)(1 - a)}$，$1 + c\geqslant2\sqrt{(1 - a)(1 - b)}$。
因为$a\gt0,b\gt0,c\gt0$，所以$(1 + a)(1 + b)(1 + c)\geqslant8(1 - a)(1 - b)(1 - c)$（当且仅当$a = b = c=\frac{1}{3}$时取等号）。

1. * 已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当$a,b,c$均为正实数时，$\frac{a + b + c}{3}\geq\sqrt[3]{abc}$，当且仅当$a = b = c$时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为 ()

A.若$0 ＜ x ＜ 1$，则$x^{2}(1 - x)\leq\frac{1}{9}$
B.若$x ＞ 0$，则$2x+\frac{1}{x^{2}}\geq\frac{27}{8}$
C.若$0 ＜ x ＜ 1$，则$x^{2}(1 - x)\geq\frac{1}{9}$
D.若$x ＞ 0$，则$x^{2}+\frac{2}{x}\geq 3$

答案： D

2. * (2025·重庆巴蜀中学高一月考)存在正数$x,y$，使得不等式$\sqrt{2xy}+2\sqrt{y}\geq\lambda(x + y + 4)$成立，则$\lambda$的最大值是。

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$