《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. $\boldsymbol{★★}$(2025·河南郑州高一期末)要得到函数$ y = 4\sin \left(2x + \frac{\pi}{6}\right) $的图象，需 (D)
A.将函数$ y = 4\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) $图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
B.将函数$ y = 4\sin \left(x + \frac{\pi}{12}\right) $图象上所有点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变)
C.将函数$ y = 4\sin 2x $图象上所有点向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度
D.将函数$ y = 4\sin 2x $图象上所有点向左平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度

答案： 1.D 解析:将函数$y=4\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到$y=4\sin\left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6}\right)$的图象，故A错误;将函数$y=4\sin\left(x+\frac{\pi}{12}\right)$图象上所有点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$(纵坐标不变)，得到$y=4\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)$的图象，故B错误;将函数$y=4\sin2x$图象上所有点向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度得到$y=4\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$的图象，故C错误;将函数$y=4\sin2x$图象上所有点向左平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度得到$y=4\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$的图象，故D正确.故选D.

2. $\boldsymbol{★★}$ 函数$ f(x) = \cos \left(\omega x + \frac{\pi}{6}\right) $在$[-\pi, \pi]$的图象如下图，则$ f(x) $的最小正周期为 (C)

A.$\frac{10\pi}{9}$
B.$\frac{7\pi}{6}$
C.$\frac{4\pi}{3}$
D.$\frac{3\pi}{2}$

答案： 2.C 解析:因为图象经过$\left(-\frac{4\pi}{9},0\right)$，所以$\cos\left(-\frac{4\pi}{9}\omega+\frac{\pi}{6}\right)=0$，即$-\frac{4\pi}{9}\omega+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$，解得$\omega=\frac{3}{2}-\frac{9}{4}k,k\in\mathbf{Z}$.由图象可知$\frac{10\pi}{9}＜T＜\frac{13\pi}{9}$，即$\frac{10\pi}{9}＜\frac{2\pi}{|\omega|}＜\frac{13\pi}{9}$，解得$\frac{18}{13}＜|\omega|＜\frac{9}{5}$，所以$k=0,\omega=\frac{3}{2}$，所以$f(x)$的最小正周期$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{4\pi}{3}$.故选C.

3. $\boldsymbol{★★★}$(多选)(2025·河南郑州高一期末)把函数$ y = \sin x $图象向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，然后把所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数$ y = f(x) $的图象，则 (ACD)
A.$ f(x) $的最小正周期为$\pi$
B.$ f\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $
C.函数$ f(x) $的图象关于直线$ x = -\frac{5\pi}{12} $对称
D.函数$ f(x) $在$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$上的值域为$\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right]$

答案： 3.ACD 解析:把函数$y=\sin x$图象向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，则$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$，再把所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，则$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$，所以$f(x)$的最小正周期为$\frac{2\pi}{2}=\pi$，A对;
$f\left(\frac{7\pi}{6}\right)=\sin\left(2×\frac{7\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{8\pi}{3}=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，B错;
由$f\left(-\frac{5\pi}{12}\right)=\sin\left[2×\left(-\frac{5\pi}{12}\right)+\frac{\pi}{3}\right]=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$，则函数$f(x)$的图象关于直线$x=-\frac{5\pi}{12}$对称，C对;
由$x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，则$2x+\frac{\pi}{3}\in\left(\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right)$，故$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\in\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},1\right]$，故函数$f(x)$在$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$上的值域为$\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},1\right]$，D对.故选ACD.

4. $\boldsymbol{★★★}$(2025·湖北华师一附中高一期末)已知函数$ f(x) = \sin \omega x(\omega ＞ 0) $的图象的一部分如图①，则图②中的图象对应的函数是 (D)



A.$ y = f\left(2x - \frac{1}{2}\right) $
B.$ y = f\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2}\right) $
C.$ y = f\left(\frac{x}{2} - 1\right) $
D.$ y = f(2x - 1) $

答案： 4.D 解析:由题图①可知，$T=2$，所以$\omega=\frac{2\pi}{T}=\pi$，所以$f(x)=\sin\pi x$，题图②可看成由题图①向右平移1个单位长度，得$f(x-1)$，再将所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得$f(2x-1)$.故选D.

5. $\boldsymbol{★★★}$（多选）（2025·江苏南京金陵中学高一期末）已知函数$ f(x) = A\cos(\omega x + \varphi)(A ＞ 0, \omega ＞ 0, 0 ＜ \varphi ＜ \pi) $的部分图象如图所示，则 （ACD）

A.$ f(x) = 2\cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) $
B.$ f(x) $在$\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}\right]$上单调递增
C.若$ x_1, x_2 \in \left(\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}\right) $，$ x_1 \neq x_2 $且$ f(x_1) = f(x_2) $，则$ f(x_1 + x_2) = 1 $
D.把$ f(x) $的图象向右平移$\frac{5}{12}$个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数$ g(x) $的图象，则函数$ y = g\left(x + \frac{3}{2}\pi\right) $为偶函数

答案： 5.ACD 解析:对于A选项，由题图可知，$A=f(x)_{\max}=2$，函数$f(x)$的最小正周期$T$满足$\frac{3T}{4}=\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{12}=\frac{3\pi}{4}$，可得$T=\pi$，则$\omega=\frac{2\pi}{T}=2$，则$f(x)=2\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$，A对;
对于B选项，当$\frac{\pi}{6}\leq x\leq\frac{2\pi}{3}$时，$\frac{2\pi}{3}\leq2x+\frac{\pi}{3}\leq\frac{5\pi}{3}$，所以$f(x)$在$\left[\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right]$上不单调，B错;
对于C选项，当$\frac{\pi}{12}＜x＜\frac{7\pi}{12}$时，$\frac{\pi}{2}＜2x+\frac{\pi}{3}＜\frac{3\pi}{2}$，由$2x+\frac{\pi}{3}=\pi$可得$x=\frac{\pi}{3}$，所以函数$f(x)$在区间$\left(\frac{\pi}{12},\frac{7\pi}{12}\right)$内的图象关于直线$x=\frac{\pi}{3}$对称，若$x_1,x_2\in\left(\frac{\pi}{12},\frac{7\pi}{12}\right)$，$x_1\neq x_2$且$f(x_1)=f(x_2)$，则$x_1+x_2=\frac{2\pi}{3}$，所以$f\left(x_1+x_2\right)=f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=2\cos\frac{5\pi}{3}=2\cos\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\frac{\pi}{3}=1$，C对;
对于D选项，把$f(x)$的图象向右平移$\frac{5\pi}{12}$个单位长度，可得到函数$y=2\cos\left[2\left(x-\frac{5\pi}{12}\right)+\frac{\pi}{3}\right]=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=2\sin2x$的图象，再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数$g(x)$的图象，则$g(x)=2\sin x$，$y=g\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)=2\sin\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)=-2\cos x$为偶函数，D对.故选ACD.

6. $\boldsymbol{★★★}$(2025·重庆八中高一期末)若函数$ g(x) = \sin \left(\omega x + \frac{\pi}{3}\right) $在区间$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]$上单调递增，则正数$\omega$的取值范围为 (A)
A.$\left(0, \frac{2}{9}\right]$
B.$\left(0, \frac{8}{9}\right]$
C.$\left[\frac{2}{9}, \frac{8}{9}\right]$
D.$(0, 2]$

答案： 6.A 解析:函数$g(x)=\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)$在区间$\left[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right]$上单调递增且$\omega＞0$，所以$T=\frac{2\pi}{\omega}\geqslant2\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)=\pi$，解得$0＜\omega\leqslant2$，由$x\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right]$，则$\omega x+\frac{\pi}{3}\in\left[\frac{\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{3},\frac{3\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{3}\right]$，则$\frac{\pi}{3}＜\frac{\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{3}＜\frac{3\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{3}\leqslant\frac{5\pi}{6}$，所以$\begin{cases}\frac{3\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{3}\leqslant\frac{\pi}{2}\frac{\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{3}\geqslant-\frac{\pi}{2}\end{cases}$解得$0＜\omega\leqslant\frac{2}{9}$，即正数$\omega$的取值范围为$\left(0,\frac{2}{9}\right]$.故选A.

7. $\boldsymbol{★★★}$ 设函数$ f(x) = \sin(\omega x + \varphi) $，其中$ \omega ＞ 0 $，$ |\varphi| ＜ \pi $。若$ f\left(\frac{5\pi}{8}\right) = 1 $，$ f(x) $的图象关于点$\left(\frac{11\pi}{8}, 0\right)$中心对称，且$ f(x) $的最小正周期大于$ 2\pi $，则 $f(\frac{13\pi}{8}) = $_________$$。

答案： 7.$-\frac{1}{2}$ 解析:因为$f\left(\frac{5\pi}{8}\right)=1$，$f(x)$的图象关于点$\left(\frac{11\pi}{8},0\right)$中心对称，所以$(2k+1)·\frac{T}{4}=\frac{11\pi}{8}-\frac{5\pi}{8}=\frac{3\pi}{4}$，$k\in\mathbf{Z}$，得$T=\frac{3\pi}{2k+1}$，$k\in\mathbf{Z}$.因为$f(x)$的最小正周期大于$2\pi$，即$\frac{3\pi}{2k+1}＞2\pi$，所以$0＜2k+1＜\frac{3}{2}$，则$k=0$，故$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2}{3}$.又$f\left(\frac{5\pi}{8}\right)=\sin\left(\frac{2}{3}×\frac{5\pi}{8}+\varphi\right)=1$，所以$\frac{5\pi}{12}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，所以$\varphi=\frac{\pi}{12}+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$.因为$|\varphi|＜\pi$，所以$\varphi=\frac{\pi}{12}$，$f(x)=\sin\left(\frac{2}{3}x+\frac{\pi}{12}\right)$，所以$f\left(\frac{13\pi}{8}\right)=\sin\left(\frac{2}{3}×\frac{13\pi}{8}+\frac{\pi}{12}\right)=\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2}$.故答案为$-\frac{1}{2}$.