《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. 铁路总公司关于乘车行李规定如下:乘坐动车组列车携带品的外

部

尺寸长、宽、高之和不超过130 cm,且体积不超过72 000 cm³,设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a,b,c(单位:cm),这个规定用数学关系式可表示为 (C)

A.$a+b+c＜130$且$abc＜72\ 000$
B.$a+b+c＞130$且$abc＞72\ 000$
C.$a+b+c\leqslant 130$且$abc\leqslant 72\ 000$
D.$a+b+c\geqslant 130$且$abc\geqslant 72\ 000$

答案： 1.C 解析：由长、宽、高之和不超过$130 cm$得$a+b+c\leq130$，由体积不超过$72000 cm^3$得$abc\leq72000$.故选C.

2. * (多选)已知$a,b,c\in\mathbf{R}$,下列命题为真命题的是 (BD)

A.若$b＜a＜0$,则$b· (c^2-1)＜a· (c^2-1)$
B.若$b＞a＞0＞c$,则$\frac{c}{a}＜\frac{c}{b}$
C.若$c＞b＞a＞0$,则$\frac{a}{c-a}＞\frac{a}{c-b}$
D.若$a＞b＞c＞0$,则$\frac{a}{b+c}＞\frac{b}{a+c}$

答案： 2.BD 解析：对于选项A，当$c=1$时，$b(c^2-1)=a(c^2-1)$，故A错误；对于选项B，$\frac{c}{a}-\frac{c}{b}=\frac{c(b-a)}{ab}$，因为$b＞a＞0＞c$，所以$b-a＞0,ab＞0$，所以$\frac{c(b-a)}{ab}＜0$，即$\frac{c}{a}＜\frac{c}{b}$，故B正确；对于选项C，$\frac{a}{c-a}-\frac{a}{c-b}=\frac{a(a-b)}{(c-a)(c-b)}$，因为$c＞b＞a＞0$，所以$c-a＞0,c-b＞0,a-b＜0$，所以$\frac{a(a-b)}{(c-a)(c-b)}＜0$，即$\frac{a}{c-a}＜\frac{a}{c-b}$，故C错误；对于选项D，因为$\frac{a}{b+c}-\frac{b}{a+c}=\frac{a^2+ac-b^2-bc}{(b+c)(a+c)}=\frac{(a-b)(a+b+c)}{(b+c)(a+c)}$，又因为$a＞b＞c＞0$，所以$a-b＞0,a+b+c＞0,b+c＞0,a+c＞0$，所以$\frac{(a-b)(a+b+c)}{(b+c)(a+c)}＞0$，即$\frac{a}{b+c}＞\frac{b}{a+c}$，故D正确.故选BD.

3. * (2025·广东珠海高一期中)已知$0＜a＜1,b＜0$,则下列大小关系正确的是 (C)

A.$ab＜-1＜a^2b$
B.$-1＜ab＜a^2b$
C.$ab＜a^2b＜1$
D.$a^2b＜ab＜1$

答案： 3.C 解析：因为$0＜a＜1,b＜0$，所以$ab＜0,a^2b＜0＜1,1-a＞0$，则$ab-a^2b=ab(1-a)＜0$，即$ab＜a^2b$，所以$ab＜a^2b＜1$.故选C.

4. * 已知$1＜a＜2,2＜b＜4,-2＜c＜-1$,则$c(b-a)$的取值范围为 (C)

A.$-2＜c(b-a)＜2$
B.$-6＜c(b-a)＜-3$
C.$-6＜c(b-a)＜0$
D.$0＜c(b-a)＜6$

答案： 4.C 解析：因为$1＜a＜2,2＜b＜4$，则$-2＜-a＜-1$，所以$0＜b-a＜3$.因为$-2＜c＜-1$，则$1＜-c＜2$，由不等式的性质可得$0＜-c(b-a)＜6$，故$-6＜c(b-a)＜0$.故选C.

5. *|苏教教材变式 (多选)(2025·江苏扬州高一期中)生活经验告诉我们,a克糖水中有b克糖($a＞0,b＞0$,且$a＞b$),若再添加c克糖($c＞0$)后,糖水会更甜,于是得出一个不等式:$\frac{b+c}{a+c}＞\frac{b}{a}$.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是 (CD)

A.若$a＞b＞0,m＞0$,则$\frac{b+m}{a+m}$与$\frac{b}{a}$的大小关系随m的变化而变化
B.若$a＞b＞0,m＜0$,则$\frac{b}{a}＜\frac{b+m}{a+m}$
C.若$a＞b＞0,c＞d＞0$,则$\frac{b+d}{a+d}＜\frac{b+c}{a+c}$
D.若$a＞0,b＞0$,则一定有$\frac{a}{1+a+b}+\frac{b}{1+a+b}＜\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}$

答案： 5.CD 解析：对于A，根据“糖水不等式”，若$a＞b＞0,m＞0$，则$\frac{b+m}{a+m}＞\frac{b}{a}$，故A错误；对于B，当$a=3,b=1,m=-2$时，$\frac{b}{a}=\frac{1}{3},\frac{b+m}{a+m}=-1＜\frac{1}{3}$，与题设矛盾，故B错误；对于C，若$a＞b＞0,c＞d＞0$，则$c-d＞0,a+d＞b+d＞0$，根据“糖水不等式”，$\frac{b+d}{a+d}＜\frac{b+d+c}{a+d+c}$，即$\frac{b+d}{a+d}＜\frac{b+c}{a+c}$，故C正确；对于D，若$a＞0,b＞0$，则$1+a+b＞1+a＞0,1+a+b＞1+b＞0$，所以$\frac{1}{1+a}＜\frac{1}{1+a+b},\frac{1}{1+b}＜\frac{1}{1+a+b}$，所以$\frac{a}{1+a+b}＜\frac{a}{1+a},\frac{b}{1+a+b}＜\frac{b}{1+b}$，故D正确.

6. * (2025·河北唐山高一期中)已知某商品的原价为a元,由于市场原因,先降价$p\%$($0＜p＜100$)出售,一段时间后,再提价$p\%$出售,则该商品提价后的售价 低于 该商品的原价.(填“高于”“低于”或“等于”)

答案： 6.低于 解析：第一次降价后的售价为$a(1-p\%)$元，第二次提价后的售价为$a(1-p\%)(1+p\%)$元.因为$0＜p＜100$，所以$0＜p\%＜1$，所以$(1-p\%)(1+p\%)=1-(p\%)^2＜1$，所以$a(1-p\%)(1+p\%)＜a$，即该商品提价后的售价低于该商品的原价.故答案为低于.

7. * (2025·黑龙江齐齐哈尔高一期中)已知三个不等式:(1)$ab＞0$;(2)$bc＞ad$;(3)$\frac{c}{a}＞\frac{d}{b}$,以其中两个作条件,余下一个作结论,则可组成的真命题个数为 3.

答案： 7.3 解析：若$ab＞0,bc＞ad$，则$\frac{c}{a}-\frac{d}{b}$，因为$ab＞0,bc＞ad$，所以不等式$bc＞ad$两边同时除以$ab$，得$\frac{bc}{ab}＞\frac{ad}{ab}$，即$\frac{c}{a}＞\frac{d}{b}$，所以由$ab＞0,bc＞ad$，可得$\frac{c}{a}＞\frac{d}{b}$成立；若$ab＞0$，$-\frac{c}{a},\frac{d}{b}$，则$bc＞ad$，因为$-\frac{c}{a},\frac{d}{b},ab＞0$，所以$\frac{c}{a}· ab＞\frac{d}{b}· ab$，即$bc＞ad$，所以由$ab＞0,\frac{c}{a}＞\frac{d}{b}$，可得$bc＞ad$成立；若$bc＞ad,\frac{c}{a}＞\frac{d}{b}$，则$ab＞0$，因为$\frac{c}{a}＞\frac{d}{b}$，$ab＞0$，所以$\frac{c}{a}· ab＞\frac{d}{b}· ab$，即$bc＞ad$，所以$bc-ad＞0$，所以$ab＞0$，所以由$bc＞ad,\frac{c}{a}＞\frac{d}{b}$，可得$ab＞0$成立.所以组成的3个命题都是真命题.故答案为3.

8. * 已知$c＞1$,且$x=\sqrt{c+1}-\sqrt{c},y=\sqrt{c}-\sqrt{c-1}$,则x,y之间的大小关系是 $x＜y$.

答案： 8.$x＜y$ 解析：由题设，易知$x＞0,y＞0$，又$\frac{x}{y}=\frac{\sqrt{c+1}-\sqrt{c}}{\sqrt{c}-\sqrt{c-1}}=\frac{\sqrt{c}+\sqrt{c-1}}{\sqrt{c+1}+\sqrt{c}}＜1$，$\therefore x＜y$.

9. * (2025·福建福州高一月考)已知$a＞b\geqslant 0,a\geqslant c\geqslant d$,且$ab\geqslant cd$.
(1)请给出a,b,c,d的一组值,使得$a+b\geqslant 2(c+d)$成立;
(2)证明:不等式$a+b\geqslant c+d$恒成立.

答案： 9.
(1)解：$a=2,b=1,c=1,d=-1$.（答案不唯一）
(2)证明：由题意可知，$a\neq c\geq d$，所以$(a-c)(a-d)\geq0$，所以$a^2-(c+d)a+cd\geq0$，即$a^2+cd\geq(c+d)a$.因为$a＞b\geq0$，所以$a+\frac{cd}{a}\geq c+d$.因为$ab\geq cd$，所以$b\geq\frac{cd}{a}$，所以$a+b\geq a+\frac{cd}{a}\geq c+d$.