《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. * 对于函数$ y = f(x) $在给定区间上有两个数$ x_1, x_2 $，且$ x_1 ＜ x_2 $使$ f(x_1) ＜ f(x_2) $成立，则$ y = f(x) $(D)

A.一定是增函数
B.一定是减函数
C.可能是常数函数
D.单调性不能确定

答案： 1.D 解析：由单调性的定义可以知道，不能用特殊值代替一般值，若使函数$f(x)$为增函数，应为任意两个数$x_1$，$x_2$，且$x_1＜x_2$使$f(x_1)＜f(x_2)$，故单调性不能确定.故选D.

2. (多选)函数$ y = f(x) $在$ (0, +\infty) $上是减函数，且$ 0 ＜ x_1 ＜ x_2 $，则下列选项正确的是(ABC)

A.$ f(x_1) ＞ f(x_2) $
B.$ f(x_1) - f(x_2) ＞ 0 $
C.$ (x_1 - x_2)[f(x_1) - f(x_2)] ＜ 0 $
D.$ \dfrac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} ＞ 0 $

答案： 2.ABC 解析：AB选项，$y = f(x)$在$(0, +\infty)$上是减函数，且$0 ＜ x_1 ＜ x_2$，故$f(x_1) ＞ f(x_2)$，$f(x_1) - f(x_2) ＞ 0$，AB正确；CD选项，因$x_1 - x_2 ＜ 0$，$f(x_1) - f(x_2) ＞ 0$，所以$(x_1 - x_2)[f(x_1) - f(x_2)] ＜ 0$，$\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} ＜ 0$，C正确，D错误.故选ABC.

3. * |苏教教材变式| (多选)(2025·广东广州高一月考)如图是函数$ y = f(x) $的图象，则函数$ f(x) $在下列区间单调递增的是(BC)


A.$ [2, 5] $
B.$ [-6, -4] $
C.$ [-1, 2] $
D.$ [-1, 2] \cup [5, 8] $

答案： 3.BC 解析：图象从左往右上升的区间有$[-6, -4]$，$[-1, 2]$，$[5, 8]$，$\therefore f(x)$在$[-6, -4]$，$[-1, 2]$，$[5, 8]$上单调递增.故选BC.
易错提醒
函数的单调区间不可以写成并集形式.

4. * (2025·天津河西区高一期中)下列函数中，在其定义域上是减函数的是(D)

A.$ f(x) = 2x $
B.$ f(x) = -x^2 $
C.$ f(x) = \dfrac{1}{x} $
D.$ f(x) = -2x + 1 $

答案： 4.D 解析：$f(x)=2x$的定义域是$\mathbf{R}$，且在$(-\infty, +\infty)$上单调递增，A选项错误.$f(x)= -x^2$的定义域是$\mathbf{R}$，且在$(-\infty, 0)$上单调递增，B选项错误.$f(x)=\frac{1}{x}$的定义域是$\{x|x \neq 0\}$，且在$(-\infty, 0)$，$(0, +\infty)$上单调递减，C选项错误.$f(x)= -2x + 1$的定义域是$\mathbf{R}$，且在$(-\infty, +\infty)$上单调递减，D选项正确.故选D.

5. * (2025·江苏无锡高一期中)函数$ f(x) = -\dfrac{1}{x - 2} $的单调增区间是(D)

A.$ (2, +\infty) $
B.$ (-\infty, 2) $
C.$ (-2, 2) $
D.$ (-\infty, 2), (2, +\infty) $

答案： 5.D 解析：函数$f(x)=-\frac{1}{x - 2}$的定义域为$\{x|x \neq 2\}$，又$f(x)=-\frac{1}{x - 2}$的图象是由$y = -\frac{1}{x}$向右平移$2$个单位长度得到的，$y = -\frac{1}{x}$的单调增区间为$(-\infty, 0)$，$(0, +\infty)$，所以$f(x)=-\frac{1}{x - 2}$的单调增区间为$(-\infty, 2)$，$(2, +\infty)$.故选D.

6. (2025·湖北华师一附中高一月考)已知函数$ f(x) = | -x^2 + 2x + 3 | $，下列结论正确的是(C)

A.函数$ f(x) $的减区间是$ (-\infty, -1) \cup (1, 3) $
B.函数$ f(x) $在$ (-1, 1) $上单调递减
C.函数$ f(x) $在$ (0, 1) $上单调递增
D.函数$ f(x) $的增区间是$ (-1, 3) $

答案：
6.C 解析：由$y = -x^2 + 2x + 3 = -(x - 1)^2 + 4$，作出函数$y = -x^2 + 2x + 3$的图象，利用图象的变换可得$f(x)=| -x^2 + 2x + 3|$的图象，如图所示.
　　　　　　　
所以函数$f(x)$在$(-\infty, -1)$和$(1, 3)$上单调递减，在$(-1, 1)$和$(3, +\infty)$上单调递增.故选C.

7. 写出能够说明“若$ g(x) $在$ \mathbf{R} $上是增函数，则$ xg(x) $在$ \mathbf{R} $上也是增函数”是假命题的一个$ g(x) $的解析式：$ g(x) = $$x$$ $。

答案： 7.$x$(答案不唯一，符合题意即可) 解析：例如：$g(x)=x$在$\mathbf{R}$上是增函数，则$xg(x)=x^2$在$(-\infty, 0)$上单调递减，在$(0, +\infty)$上单调递增，所以$xg(x)$在$\mathbf{R}$上不是增函数.故答案为$x$(答案不唯一，符合题意即可).

8. (2025·广东东莞高一月考)已知函数$ f(x) = \dfrac{x^2 + a}{x} $，且$ f(1) = 10 $。
(1) 求$ a $；
(2) 判断函数$ f(x) $在$ [3, +\infty) $上的单调性，并用定义法证明。

答案： 8.解：
(1)由题意知，函数$f(x)=\frac{x^2 + a}{x}$，因为$f(1)=10$，所以$f(1)=\frac{1^2 + a}{1}=10$，则$a = 9$.
(2)函数$f(x)$在$[3, +\infty)$上单调递增.由
(1)知，$f(x)=\frac{x^2 + 9}{x}=x + \frac{9}{x}$，设$3 \leq x_1 ＜ x_2$，则$f(x_1) - f(x_2)=x_1 - x_2 + \frac{9}{x_1} - \frac{9}{x_2}=(x_1 - x_2)(\frac{x_1x_2 - 9}{x_1x_2})$，由$3 \leq x_1 ＜ x_2$，得$x_1x_2 - 9 ＞ 0$，$x_1 - x_2 ＜ 0$，$x_1x_2 ＞ 0$，所以$(x_1 - x_2)(\frac{x_1x_2 - 9}{x_1x_2}) ＜ 0 \Rightarrow f(x_1) - f(x_2) ＜ 0$，即$f(x_1) ＜ f(x_2)$，所以函数$f(x)$在$[3, +\infty)$上单调递增.
方法总结
利用定义证明函数单调性的方法：
(1)取值：设$x_1$，$x_2$是所给区间上的任意两个值，且$x_1 ＜ x_2$；
(2)作差变形：即作差$f(x_1) - f(x_2)$，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
(3)定号：确定差$f(x_1) - f(x_2)$的符号；
(4)下结论：判断，根据定义得出结论.