《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

9. * 已知全集$ U=\{1,2,3,4,5\} $,$ A=\{1,2\} $,$ A\cup (\complement_{U}B)=U $,试写出一个符合要求的集合$ B = $$\{2\}$（答案不唯一）$ $.

答案： 9. $\{2\}$（答案不唯一） 解析：$U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$A = \{1, 2\}$，$A \cup (\complement_U B) = U$，则 $\{3, 4, 5\} \subseteq \complement_U B \subseteq U$，$\therefore B = \{1\}$ 或 $\{2\}$ 或 $\{1, 2\}$ 或 $\varnothing$. 故答案可以为 $\{2\}$（答案不唯一）.

10. * (2025·江苏常州高一月考)设集合$ U=\{2,3,4\} $,对其子集引进“势”的概念:①空集的“势”最小;②非空子集的元素越多,其“势”越大;③若两个子集的元素个数相同,则子集中最大的元素越大,子集的“势”就越大.最大的元素相同,则第二大的元素越大,子集的“势”就越大,以此类推.若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列,则排在第6位的子集是$\{2, 4\}$.

答案： 10. $\{2, 4\}$ 解析：根据题意，将全部的子集按“势”从小到大顺序排列为 $\varnothing$，$\{2\}$，$\{3\}$，$\{4\}$，$\{2, 3\}$，$\{2, 4\}$，$\{3, 4\}$，$\{2, 3, 4\}$. 故排在第 6 位的子集为 $\{2, 4\}$. 故答案为 $\{2, 4\}$.

11. 定义:对于非空集合$ A $,若元素$ x\in A $,则必有$ (m - x)\in A $,则称集合$ A $为“$ m $和集合”.已知集合$ B=\{1,2,3,4,5,6,7\} $,则集合$ B $所有的子集中,是“8和集合”的集合有15个.

答案： 11. 15 解析：由题意，集合 $B$ 的子集中，是“8 和集合”的 1，7；2, 6；3, 5；4 一定成组出现，当集合 $B$ 的子集中只有 1 个元素时，即为 $\{4\}$，共 1 个；当集合 $B$ 的子集中有 2 个元素时，即为 $\{1, 7\}$，$\{2, 6\}$，$\{3, 5\}$，共 3 个；当集合 $B$ 的子集中有 3 个元素时，即为 $\{1, 4, 7\}$，$\{2, 4, 6\}$，$\{3, 4, 5\}$，共 3 个；当集合 $B$ 的子集中有 4 个元素时，即为 $\{1, 7, 2, 6\}$，$\{1, 7, 3, 5\}$，$\{2, 6, 3, 5\}$，共 3 个；当集合 $B$ 的子集中有 5 个元素时，即为 $\{1, 7, 4, 2, 6\}$，$\{1, 7, 4, 3, 5\}$，$\{2, 6, 4, 3, 5\}$，共 3 个；当集合 $B$ 的子集中有 6 个元素时，即为 $B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7\}$，共 1 个. 当集合 $B$ 的子集中有 7 个元素时，即为 $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$，共 1 个. 则集合 $B$ 所有子集中，是“8 和集合”的集合有 15 个. 故答案为 15.

12. * (2025·河南郑州高一期中)已知集合$ A=\{x\mid2 - b\leq ax\leq2b - 2\} $ ($ a＞0 $),$ B=\{x\mid-\frac{1}{2}\leq x\leq2\} $.
(1)当$ a = 1 $,$ b = 3 $时,求$ A\cup B $和$ \complement_{\mathbf{R}}B $.
(2)是否存在实数$ a,b $,使得$ A = B $?若存在,求出$ a,b $的值;若不存在,请说明理由.

答案： 12. 解：
(1) 当 $a = 1, b = 3$ 时，$A = \{x \mid -1 \leq x \leq 4\}$.
又 $B = \left\{x \mid -\frac{1}{2} \leq x \leq 2\right\}$，所以 $A \cup B = \{x \mid -1 \leq x \leq 4\}$，$\complement_{\mathbb{R}} B = \left\{x \mid x ＜ -\frac{1}{2} 或 x ＞ 2\right\}$.
(2) 假设存在实数 $a, b$ 满足条件. 因为 $a ＞ 0$，所以由 $2 - b \leq ax \leq 2b - 2$，得 $\frac{2 - b}{a} \leq x \leq \frac{2b - 2}{a}$. 由 $A = B$，得 $\begin{cases} \frac{2 - b}{a} = -\frac{1}{2} \\ \frac{2b - 2}{a} = 2 \end{cases}$，
解得 $\begin{cases} a = 2 \\ b = 3 \end{cases}$. 故存在 $a = 2, b = 3$，使得 $A = B$.

13. (2025·广东广州高一月考)已知集合$ A=\{x\mid x - 2\geq0\} $,$ B=\{x\mid x＜-1 或 x＞6\} $,$ C=\{x\mid m\leq x\leq2m - 1\} $.
(1)求$ A\cup (\complement_{\mathbf{R}}B) $;
(2)若$ A\cap (\complement_{\mathbf{R}}B)\cap C=\varnothing $,求$ m $的取值范围.

答案： 13. 解：
(1) $A = \{x \mid x - 2 \geq 0\} = \{x \mid x \geq 2\}$，$B = \{x \mid x ＜ -1 或 x ＞ 6\}$，$\complement_{\mathbb{R}} B = \{x \mid -1 \leq x \leq 6\}$，所以 $A \cup (\complement_{\mathbb{R}} B) = \{x \mid x \geq -1\}$.
(2) $A \cap (\complement_{\mathbb{R}} B) = \{x \mid 2 \leq x \leq 6\}$，若 $m ＞ 2m - 1, m ＜ 1$，则 $C = \varnothing$，满足 $A \cap (\complement_{\mathbb{R}} B) \cap C = \varnothing$. 若 $m \leq 2m - 1, m \geq 1$，则 $\begin{cases} 2m - 1 ＜ 2 \\ m \geq 1 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m ＞ 6 \\ m \geq 1 \end{cases}$，解得 $1 \leq m ＜ \frac{3}{2}$ 或 $m ＞ 6$. 综上所述，$m$ 的取值范围是 $\left(-\infty, \frac{3}{2}\right) \cup (6, +\infty)$.

* (2025·江苏扬州高一月考)对于一个由整数组成的集合$ A $,$ A $中所有元素之和称为$ A $的“小和数”,$ A $的所有非空子集的“小和数”之和称为$ A $的“大和数”.已知集合$ B=\{-1,1,2,3,4,5,6\} $,则$ B $的“小和数”为20,$ B $的“大和数”为1280.

答案： 压轴挑战
20 1280 解析：由题意可知，$B$ 的“小和数”为 $(-1) + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20$，集合 $B$ 中一共有 7 个元素，则一共有 $2^7$ 个子集，对于任意一个子集 $M$，总能找到一个子集 $\overline{M}$，使得 $M \cup \overline{M} = B$，且无重复，则 $M$ 与 $\overline{M}$ 的“小和数”之和为 $B$ 的“小和数”，这样的子集对共有 $\frac{2^7}{2} = 2^6$（对），其中 $M = B$ 时，$\overline{M} = \varnothing$，考虑非空子集，则子集对有 $(2^6 - 1)$ 对，则 $B$ 的“大和数”为 $(2^6 - 1) × 20 + 20 = 1280$. 故答案为 20；1280.