《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. (2025·天津滨海新区高一期中)在$b = \log_{(3a - 1)}(4 - a^{2})$中,实数$a$的取值范围是 (B)

A.$(-\infty, \frac{1}{3})\cup(2, +\infty)$
B.$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})\cup(\frac{2}{3}, 2)$
C.$(\frac{1}{3}, 2)$
D.$(\frac{1}{2}, 2)$

答案： 1.B 解析:要使式子$b=log_(3a-1)(4-a^2)$有意义,则$\begin{cases}3a-1＞0,\\3a-1≠1,\\4-a^2＞0,\end{cases}$解得$\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}$或$\frac{2}{3}＜a＜2.$故A,C,D错误.故选B.
方法总结
对数式中,底数大于0且不等于1,真数大于0.

2. (多选)(2025·河南漯河高一期中)以下式子中,计算正确的是 (ABC)

A.$2^{1 + \log_{2}5} = 10$
B.$\frac{\log_{2}8}{\log_{2}4} = \frac{3}{2}$
C.$\left(\log_{2}25 + \log_{2}\frac{1}{5}\right)\left(\log_{5}8 + \log_{5}\frac{1}{2}\right) = 2$
D.$\log_{3}9 + \log_{4}2 = 0$

答案： 2.ABC 解析:对于$A,2^{1+log_25}=2^1×2^{log_25}=2×5=10,$故A正确;对于$B,\frac{log_8}{log_4}\frac{log_22^3}{log_22^2}=\frac{3log_22}{2log_22}=\frac{3}{2},$故B正确;对于$C,(log_2525+log_2\frac{1}{5})·(log_58+log_5\frac{1}{2})=log_2(25×\frac{1}{5})×log_5(8×\frac{1}{2})=log_25×log_54=log_25×log_52^2=2log_25×2log_52=2×2=2,$故C正确;对于$D,log_39+log_42=2+\frac{1}{2}≠0,$故D错误.故选ABC.

3. * (2025·江苏南京高一月考)沙漏也叫作沙钟,是一种测量时间的装置.现有一个沙漏(如图)上方装有$a\ \mathrm{cm}^{3}$的细沙,细沙从中间小孔由上方慢慢漏下,经过$t\ \mathrm{min}$时剩余的细沙量为$y\ \mathrm{cm}^{3}$,且$y = a·\mathrm{e}^{-bt}$($b$为常数),经过$8\ \mathrm{min}$时,上方还剩下一半细沙,要使上方细沙是开始时的$\frac{1}{8}$,需经过的时间为 (C)

A.$8\ \mathrm{min}$
B.$16\ \mathrm{min}$
C.$24\ \mathrm{min}$
D.$26\ \mathrm{min}$

答案： 3.C 解析:依题意有$ae^{-8b}=\frac{1}{2}a,$即$e^{-8b}=\frac{1}{2},$两边取对数得$-8b=ln\frac{1}{2}=-ln2,$所以$b=\frac{ln2}{8},$得到$y=ae^{\frac{ln2}{8}t},$当上方细沙是开始时的一半时,有$ae^{-\frac{ln2}{8}t}=\frac{1}{2}a,$所以$e^{-\frac{ln2}{8}t}=\frac{1}{2},$两边取对数得$-\frac{ln2}{8}t=ln\frac{1}{2}=-ln2,$所以t=24.故选C.

4. * (2025·江苏南通如皋中学高三月考)方程$\log_{3}x = \log_{6}x·\log_{9}x$的实数解有 (C)

A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个

答案： 4.C 解析$:log_3x=\frac{lnx}{ln3}·\frac{lnx}{ln6}·\frac{lnx}{ln9}=log_6x·log_9x,$所以lnx=0或$lnx=\frac{ln6·ln9}{ln3}=2ln6=ln36,$所以x=1或x=36,所以方程$log_3x=log_6x·log_9x$的实数解有2个.故选C.

5. * 已知$a ＞ b ＞ c ＞ 1$,且$\log_{a}\left(\log_{\frac{1}{a}}x\right) = \log_{b}\left(\log_{\frac{1}{b}}y\right) = \log_{c}\left(\log_{\frac{1}{c}}z\right) = 0$,则有 (C)

A.$1 ＜ z ＜ y ＜ x$
B.$0 ＜ z ＜ y ＜ x ＜ 1$
C.$0 ＜ x ＜ y ＜ z ＜ 1$
D.$1 ＜ x ＜ y ＜ z$

答案： 5.C 解析:
∵$log_a(log_\frac{1}{2}x)=log_b(log_\frac{1}{2}y)=log_c(log_\frac{1}{2}z)=0,$
∴$log_a(log_\frac{1}{2}x)=0,log_b(log_\frac{1}{2}y)=0,log_c(log_\frac{1}{2}z)=0,$
∴$log_\frac{1}{2}x=1,log_\frac{1}{2}y=1,log_\frac{1}{2}z=1,$
∴$x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}.$
∵a＞b＞c＞1,
∴0＜\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}＜\frac{1}{c}＜1,
∴0＜x＜y＜z＜1.故选C.

6. * (2025·广东广州高一期中)若$2^{x} = 3^{y} = 12^{z} ＞ 1$,则$z + \frac{4x + 8y}{xy}$的取值范围是 (D)

A.$[1, 4]$
B.$[1, +\infty)$
C.$(2\sqrt{2}, +\infty)$
D.$[4, +\infty)$

答案： 6.D 解析:设2^x=3^y=12^z=k＞1,所以$x=log_k2＞0,y=log_k3＞0,z=log_12k＞0,\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{log_k2}+\frac{1}{log_k3}=\frac{2log_k}{log_k2}+\frac{log_k3}{log_k2}=\frac{log_k4+log_k3}{log_k2}=\frac{log_k12}{log_k2}=log_212=2+\frac{log_23}{log_22}=2+log_23,$所以原式$=z+4(\frac{1}{y}+\frac{2}{x})=z+4(\frac{1}{log_k3}+\frac{2}{log_k2})=z+4(log_k3+log_k4)=z+4log_k12=z+4\frac{log_k12}{log_k12}=4,$当且仅当z=2时,等号成立.故选D.

7. * 已知正数$a$,$b$满足$b^{a} = 4$,且$a + \log_{2}b = 3$,则$a + b =$ 4或5.

答案： 7.4或5 解析:
∵$b^4=a,$
∴$a=log_4b=2log_2b,$由$a+log_2b=3$得出$2log_2b+log_2b=3,$由换底公式可得$log_2b=\frac{1}{log_b2},$
∴$2\frac{1}{log_b2}+log_2b=3,$可得$log_2b=1$或$log_2b=2.①$当$log_2b=1$时,b=2,此时$,a=2log_22=2,$则a+b=4;②当$log_2b=2$时,b=4,此时$,a=log_41=1,$则a+b=5.因此,a+b=4或5.故答案为4或5.

8. 若$\mathrm{e}^{x} = \frac{6}{x}$,则$x + \ln x =$ ln6.

答案： 8.ln6 解析:因为$e^x=\frac{6}{x},$所以$lne^x=ln\frac{6}{x},$即x=ln6-lnx,所以x+lnx=ln6.故答案为ln6.

9. (2025·江苏泰州高一月考)(1)求值:
$\lg 5 + \lg^{2}2 + \lg 2·\lg 5 + \log_{2}5·\log_{25}4 + 7^{\log_{6}5}$;
(2)设$\log_{0.6}3 = m$,$\log_{6}3 = n$,用$m$,$n$来表示$\lg 18$.

答案： 9.解:
(1)原式$=lg5+lg2(1+lg2+lg5)+log_25·log_52+5=lg5+lg2+1+1+5=7.$
$(2)lg18=\frac{log_618}{log_610}=\frac{log_6(6×3)}{log_610}=\frac{1+log_63}{1+log_610},$因为$log_63=m,$所以$\frac{1+n}{log_610}=m,\frac{n}{6}=\frac{n}{1-log_610}=m,$即$\frac{n}{1-m}=m,$所以$\frac{n}{6}=\frac{m}{1-m},$即$\frac{n}{10}=m,$所以$log_610=1-\frac{n}{m},$故$lg18=\frac{1+n}{log_610}=\frac{1+n}{1-\frac{n}{m}}=\frac{m+mn}{m-n}.$

* 已知$m = 5^{\log_{6}3}$,$n = 2^{\log_{6}5}$,则$mn =$ (D)

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

答案： D 解析:由题意得$log_6m=log_65·log_63,log_6n=log_65·log_62,$所以$log_6mn=log_6m+log_6n=log_65·log_63+log_65·log_62=log_65·(log_63+log_62)=log_65,$所以mn=5.故选D.