《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. ★ (2025·江苏徐州高一月考)函数$ f(x)=a^{x - 2}+3 $恒过定点$ P $(D)

A.$ (0,1) $
B.$ (2,1) $
C.$ (2,3) $
D.$ (2,4) $

答案： 1.D 解析：令$x - 2 = 0$，得$x = 2.\because f(2)=a^{0}+3=4$，因此定点$P$的坐标为$(2,4)$.故选$D$.

2. ★ (2025·江苏扬州高一期中)已知幂函数$ y=(m^{2}-m - 1)x^{m}(m\in\mathbf{R}) $的图象不经过第二象限,则$ m = $(D)

A.$ 2 $
B.$ - 2 $或$ 1 $
C.$ - 1 $或$ 2 $
D.$ - 1 $

答案： 2.D 解析：因为$y=(m^{2}-m - 1)x^{m}$是幂函数，所以$m^{2}-m - 1=1$，解得$m = - 1$或$m = 2$.当$m = - 1$时，$y=x^{-1}=\frac{1}{x}$，显然其图象不经过第二象限，满足题意；当$m = 2$时，$y=x^{2}$，其图象经过第二象限，不满足题意.综上，$m = - 1$.故选$D$.

3. ★ (2025·江苏无锡高一月考)已知对数函数$ y=\log_{a}x(a\gt0 $且$ a\neq1) $的图象过点$ \left(4,\dfrac{1}{2}\right) $,则$ \log_{4}a = $(C)

A.$ \dfrac{1}{4} $
B.$ \dfrac{1}{2} $
C.$ 2 $
D.$ 4 $

答案： 3.C 解析：因为对数函数$y=\log_{a}x(a＞0$且$a\neq1)$的图象过点$(4,\frac{1}{2})$，所以$\log_{a}4=\frac{1}{2}$，即$a^{\frac{1}{2}}=4$，所以$a = 16$，则$\log_{4}a=\log_{4}16=\log_{4}4^{2}=2\log_{4}4 = 2$.故选$C$.

4. ★★ (2025·江苏苏州高一月考)函数$ f(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} $的图象大致为(B)

答案： 4.B 解析：由题意知，函数定义域为$\mathbf{R}$，且$f(-x)=\frac{-x}{e^{-x}+e^{x}}=-f(x)$，为奇函数，排除选项$A,C$；当$x＜0$时，$f(x)=\frac{x}{e^{x}+e^{-x}}＜0$，排除$D$.故选$B$.

5. ★★ (2025·江苏南京高一月考)设$ a = 0.4^{2.5} $,$ b=\log_{2.5}0.4 $,$ c = 2.5^{0.4} $,则$ a,b,c $的大小关系为(C)

A.$ c\lt a\lt b $
B.$ a\lt b\lt c $
C.$ b\lt a\lt c $
D.$ a\lt c\lt b $

答案： 5.C 解析：依题意，$0＜0.4^{2.5}＜0.4^{0}=1$，$b=\log_{2.5}0.4＜\log_{2.5}1=0$，$c = 2.5^{0.4}＞2.5^{0}=1$，所以$a,b,c$的大小关系为$b＜a＜c$.故选$C$.

6. ★★★ (2025·江苏扬州中学高一月考)已知幂函数$ y = x^{m^{2}-2m - 3}(m\in\mathbf{Z}) $的图象关于$ y $轴对称,且在$ (0,+\infty) $上单调递减,则满足$ (a + 1)^{-\frac{m}{3}}\gt(3 - 2a)^{-\frac{m}{3}} $的实数$ a $的取值范围为(C)

A.$ (-\infty,-1)\cup\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{2}\right) $
B.$ \left(-\infty,\dfrac{2}{3}\right) $
C.$ \left(-1,\dfrac{2}{3}\right)\cup\left(\dfrac{3}{2},+\infty\right) $
D.$ \left(0,\dfrac{3}{2}\right) $

答案： 6.C 解析：因为函数$y=x^{m^{2}-2m - 3}$在$(0,+\infty)$上单调递减，所以$m^{2}-2m - 3＜0$，又$m\in\mathbf{Z}$，所以$m = 0,1,2$.因为函数$y=x^{m^{2}-2m - 3}(m\in\mathbf{Z})$的图象关于$y$轴对称，所以$m^{2}-2m - 3=(m - 3)(m + 1)$为偶数，所以$m = 1$，函数$y=x^{\frac{1}{5}}$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，且函数$y=x^{\frac{1}{5}}$在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递减，当$x＜0$时，$y＜0$，当$x＞0$时，$y＞0$，所以不等式$(a + 1)^{\frac{m}{5}}＞(3 - 2a)^{\frac{m}{5}}$可化为$\begin{cases}a + 1＞0,\\3 - 2a＞0,\\a + 1＜3 - 2a\end{cases}$或$\begin{cases}a + 1＜0,\\3 - 2a＜0,\\a + 1＜3 - 2a\end{cases}$或$\begin{cases}a + 1＞0,\\3 - 2a＜0,\end{cases}$所以$-1＜a＜\frac{2}{3}$或$a＞\frac{3}{2}$，所以$a$的取值范围为$(-1,\frac{2}{3})\cup(\frac{3}{2},+\infty)$.故选$C$.

7. ★★★ (2025·江苏盐城高一月考)已知函数$ f(x)=2^{ax^{2}-x + 1} $的值域为$ M $.若$ (1,+\infty)\subseteq M $,则实数$ a $的取值范围是(A)

A.$ \left[0,\dfrac{1}{4}\right] $
B.$ \left(-\infty,\dfrac{1}{4}\right] $
C.$ \left(-\infty,-\dfrac{1}{4}\right]\cup\left[\dfrac{1}{4},+\infty\right) $
D.$ \left[\dfrac{1}{4},+\infty\right) $

答案： 7.A 解析：由$(1,+\infty)\subseteq M$，可知$f(x)=2^{ax^{2}-x + 1}\leq1$有解，且$f(x)$无最大值，即$ax^{2}-x + 1\leq0$有解，且$ax^{2}-x + 1$无最大值，当$a = 0$时，$-x + 1\leq0$有解，$f(x)=2^{-x + 1}$无最大值，符合题意；当$a＜0$时，$ax^{2}-x + 1\leq0$有解，但$f(x)$有最大值，不符合题意；当$a＞0$时，$ax^{2}-x + 1\leq0$有解需满足$\Delta=1 - 4a\geq0$，解得$0＜a\leq\frac{1}{4}$，此时$f(x)=2^{ax^{2}-x + 1}$无最大值，满足题意.综上，实数$a$的取值范围是$0\leq a\leq\frac{1}{4}$.故选$A$.

8. ★★ (2025·江苏南京金陵中学高一期末)函数$ f(x)=x^{1-\ln x} $,$ x\in(1,\mathrm{e}) $的最大值为(D)

A.$ \mathrm{e}^{2} $
B.$ \mathrm{e} $
C.$ \mathrm{e}^{\frac{1}{2}} $
D.$ \mathrm{e}^{\frac{1}{4}} $

答案： 8.D 解析：由$f(x)=x^{1-\ln x}$，$x\in(1,e)$，设$y = f(x)=x^{1-\ln x}$，$x\in(1,e)$，故$\ln y=(1 - \ln x)\ln x$，$x\in(1,e)$，令$t = \ln x$，$x\in(1,e)$，$\therefore t\in(0,1)$，则$\ln y=-t^{2}+t=-(t - \frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}$，$t\in(0,1)$，当$t=\frac{1}{2}$时，$\ln y=-(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}$取到最大值$\frac{1}{4}$，故$y$的最大值为$e^{\frac{1}{4}}$，即函数$f(x)=x^{1-\ln x}$，$x\in(1,e)$的最大值为$e^{\frac{1}{4}}$.故选$D$.