《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

16. ★★★ (15分)(2025·江苏南京高一月考)若函数$ f(x)=(m^{2}-3m + 3)x^{m^{2}+2m - 4} $为幂函数,且在$ (0,+\infty) $上单调递减.
(1)求实数$ m $的值.
(2)若函数$ g(x)=x - f(x) $,且$ x\in(0,+\infty) $.
①判断函数$ g(x) $的单调性,并证明;
②求使不等式$ g(2t - 1)\lt g(t) $成立的实数$ t $的取值范围.

答案： 16.解：
(1)由题意知$m^{2}-3m + 3 = 1$，解得$m = 1$或$m = 2$，当$m = 1$时，幂函数$y = x^{-1}$，此时幂函数在$(0,+\infty)$上单调递减，符合题意；当$m = 2$时，幂函数$y = x^{4}$，此时幂函数在$(0,+\infty)$上单调递增，不符合题意，所以实数$m$的值为$1$.
(2)①$g(x)=x - f(x)=x-\frac{1}{x}$，$g(x)$在区间$(0,+\infty)$上单调递增.证明如下：
任取$0＜x_{1}＜x_{2}$，则$g(x_{1})-g(x_{2})=(x_{1}-\frac{1}{x_{1}})-(x_{2}-\frac{1}{x_{2}})=(x_{1}-x_{2})-(\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}})=(x_{1}-x_{2})-\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}=(x_{1}-x_{2})(1+\frac{1}{x_{1}x_{2}})$，由$0＜x_{1}＜x_{2}$可得$x_{1}-x_{2}＜0$，$1+\frac{1}{x_{1}x_{2}}＞0$，则$g(x_{1})-g(x_{2})＜0$，即$g(x_{1})＜g(x_{2})$，故$g(x)$在区间$(0,+\infty)$上单调递增.
②由①知，$g(x)$在区间$(0,+\infty)$上单调递增，又由$g(2t - 1)＜g(t)$可得$\begin{cases}2t - 1＞0,\\t＞0,\\2t - 1＜t,\end{cases}$解得$\frac{1}{2}＜t＜1$，所以实数$t$的取值范围是$(\frac{1}{2},1)$.

17. ★★★ (15分)(2025·江苏盐城高一期中)已知函数$ f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^{2}-2ax + 3} $.
(1)当$ a = - 2 $时,求函数$ f(x) $的单调区间;
(2)$ \forall x\in\mathbf{R} $,$ f(x)\leqslant\dfrac{1}{4} $恒成立,求$ a $的取值范围.

答案： 17.解：
(1)当$a = - 2$时，$f(x)=(\frac{1}{2})^{x^{2}+4x + 3}$，令$t = x^{2}+4x + 3$，则$y = (\frac{1}{2})^{t}$，$t = x^{2}+4x + 3$的增区间为$(-2,+\infty)$，减区间为$(-\infty,-2)$，又$y = (\frac{1}{2})^{t}$为减函数，$\therefore$根据“同增异减”法则，则$f(x)=(\frac{1}{2})^{x^{2}+4x + 3}$的增区间为$(-\infty,-2)$，减区间为$(-2,+\infty)$.
(2)$\forall x\in\mathbf{R}$，$f(x)\leq\frac{1}{4}$恒成立，$f(x)=(\frac{1}{2})^{x^{2}-2ax + 3}\leq(\frac{1}{2})^{2}$，$\therefore x^{2}-2ax + 3\geq2$，即$x^{2}-2ax + 1\geq0$恒成立，$\therefore\Delta = 4a^{2}-4\leq0$，解得$-1\leq a\leq1$.