《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

11. (2025·湖北武汉高一月考)图中$C_1, C_2, C_3$为三个幂函数$y = x^\alpha$在第一象限内的图象，则指数$\alpha$的值依次可以是 (D)


A.$\frac{1}{2}, 3, -1$
B.$-1, 3, \frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}, -1, 3$
D.$-1, \frac{1}{2}, 3$

答案： 11.D 解析:由题题可知，$C_{1}$:在第一象限内单调递减，则指数$\alpha$的值满足$\alpha＜0$;$C_{2}$:在第一象限内单调递增，且图象呈现上凸趋势，则指数$\alpha$的值满足$0＜\alpha＜1$;$C_{3}$:在第一象限内单调递增，且图象呈现下凸趋势，则指数$\alpha$的值满足$\alpha＞1$.故选D.
重难点拨
(1)幂函数$y=x^{\alpha}$在$(0,+\infty)$上的单调性:
当$\alpha＞0$时，幂函数$y=x^{\alpha}$在$(0,+\infty)$上单调递增;当$\alpha＜0$时，幂函数$y=x^{\alpha}$在$(0,+\infty)$上单调递减.
(2)幂函数$y=x^{\alpha}$的图象在第一象限内的凹凸性:
当$\alpha＞1$时，幂函数$y=x^{\alpha}$的图象在第一象限内下凸;当$0＜\alpha＜1$时，幂函数$y=x^{\alpha}$的图象在第一象限内上凸;当$\alpha＜0$时，幂函数$y=x^{\alpha}$的图象在第一象限内下凹.

12. (2025·重庆大渡口区高一期中)函数$y = x^a + 1$($a$是有理数)的图象过一定点$P$，则$P$的坐标为 (1,2).

答案： 12.(1,2) 解析:由幂函数的性质可知，$y=x^{a}+1$恒过定点$P(1,2)$.故答案为(1,2).

13. * (多选)(2025·广东揭阳高一月考)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为 (AB)

A.$y = x$
B.$y = x^3$
C.$y = -\frac{1}{x}$
D.$y = x^4$

答案： 13.AB 解析:对于A，$y=x$为其定义域上的增函数，是奇函数，故A正确;对于B，$y=x^{3}$为其定义域上的增函数，是奇函数，故B正确;对于C，$y=-\frac{1}{x}$为奇函数，但只在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上分别为增函数，不是整个定义域上的增函数，故C错误;对于D，$y=x^{4}$为偶函数，故D错误.故选AB.
重难点拨
幂函数$y=x^{\frac{m}{n}}(m,n\in\mathbf{Z},n\neq0,\frac{m}{n}$为最简分数$)$的奇偶性:
若$m$为奇数，$n$为奇数，幂函数$y=x^{\frac{m}{n}}$为奇函数;若$m$为偶数，$n$为奇数，幂函数$y=x^{\frac{m}{n}}$为偶函数;若$n$为偶数，幂函数$y=x^{\frac{m}{n}}$为非奇非偶函数.

14. (多选)(2025·四川眉山高一月考)已知幂函数$y = x^\alpha (\alpha \in \mathbf{R})$的图象过点$(2, 8)$，下列说法正确的是 (AD)

A.函数$y = x^\alpha$的图象过原点
B.函数$y = x^\alpha$是偶函数
C.函数$y = x^\alpha$是单调减函数
D.函数$y = x^\alpha$的值域为$\mathbf{R}$

答案： 14.AD 解析:由于幂函数$y=x^{\alpha}$过点$(2,8)$，所以$2^{\alpha}=8$，解得$\alpha=3$，所以$y=x^{3}· y=x^{3}$的图象过原点，A选项正确.$y=x^{3}$是奇函数，所以B选项错误.$y=x^{3}$在$\mathbf{R}$上单调递增，所以C选项错误.$y=x^{3}$的值域为$\mathbf{R}$，所以D选项正确.故选AD.

15. (2025·山东滨州高一期中)下列比较大小中正确的是 (C)

A.$(\frac{7}{6})^{0.7} ＜ (\frac{6}{7})^{0.7}$
B.$(-\frac{2}{3})^{-1} ＜ (-\frac{3}{5})^{-1}$
C.$(-2.1)^{\frac{3}{7}} ＜ (-2.2)^{-\frac{3}{7}}$
D.$(-\frac{1}{2})^{\frac{4}{3}} ＜ (\frac{1}{3})^{\frac{4}{3}}$

答案： 15.C 解析:A选项:由函数$y=x^{0.7}$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$(\frac{7}{6})^{0.7}＞(\frac{6}{7})^{0.7}$，A选项错误;B选项:由函数$y=x^{-1}$在$(-\infty,0)$上单调递减，则$(-\frac{2}{3})^{-1}＞(-\frac{3}{5})^{-1}$，B选项错误;C选项:$(-2.1)^{\frac{3}{7}}=(-\frac{21}{10})^{\frac{3}{7}}$，$(-2.2)^{\frac{3}{7}}=(-\frac{10}{22})^{\frac{3}{7}}$，又函数$y=x^{\frac{3}{7}}$在$\mathbf{R}$上单调递增，所以$(-\frac{21}{10})^{\frac{3}{7}}＜(-\frac{10}{22})^{\frac{3}{7}}$，即$(-2.1)^{\frac{3}{7}}＜(-2.2)^{\frac{3}{7}}$，C选项正确;D选项:$(-\frac{1}{2})^{\frac{4}{3}}=(\frac{1}{2})^{\frac{4}{3}}$，函数$y=x^{\frac{4}{3}}$在$(0,+\infty)$上单调递增，则$(\frac{1}{2})^{\frac{4}{3}}＞(\frac{1}{3})^{\frac{4}{3}}$，即$(-\frac{1}{2})^{\frac{4}{3}}＞(\frac{1}{3})^{\frac{4}{3}}$，D选项错误.故选C.

16. (2025·浙江温州高一期中)已知幂函数$f(x)$的图象经过第二象限，且在区间$(0, +\infty)$上单调递减，则一个符合要求的$f(x) =$ $x^{-2}$(答案不唯一，符合题意即可).

答案： 16.$x^{-2}$(答案不唯一，符合题意即可) 解析:例如$f(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}$，可知$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq0\}$，且$f(x)＞0$，所以幂函数$f(x)$的图象经过第二象限，且在区间$(0,+\infty)$上单调递减，符合题意.故答案为$x^{-2}$(答案不唯一，符合题意即可).

17. (2025·江苏连云港高一月考)已知$f(x) = x^{2025} + 2025x$，若实数$a, b \in (0, +\infty)$且$f(\frac{1}{2} - 3a) + f(\frac{1}{2} - b) = 0$，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的最小值是 $4+2\sqrt{3}$.

答案： 17.$4+2\sqrt{3}$ 解析:函数$f(x)=x^{2025}+2025x$，定义域为$\mathbf{R}$，$f(-x)=(-x)^{2025}+2025×(-x)=-(x^{2025}+2025x)=-f(x)$，则$f(x)$为奇函数，若实数$a,b\in(0,+\infty)$且$f(\frac{1}{2}-3a)+f(\frac{1}{2}-b)=0$，又函数$f(x)$单调递增，则有$\frac{1}{2}-3a+\frac{1}{2}-b=0$，即$3a+b=1$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(3a+b)=4+\frac{b}{a}+\frac{3a}{b}\geq4+2\sqrt{\frac{3a}{b}×\frac{b}{a}}=4+2\sqrt{3}$，当且仅当$\frac{3a}{b}=\frac{b}{a}$，即$a=\frac{\sqrt{3}-1}{6}$，$b=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$时等号成立，所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为$4+2\sqrt{3}$.故答案为$4+2\sqrt{3}$.

18. (2025·江西南昌高一月考)已知幂函数$f(x) = x^{-2m^2 - m + 3}$，其中$m \in \{m \mid -2 ＜ m ＜ 2, m \in \mathbf{Z}\}$，满足：
①在区间$(0, +\infty)$上单调递增；
②对任意的$x \in \mathbf{R}$，都有$f(-x) + f(x) = 0$.
求同时满足条件①②的幂函数$f(x)$的解析式，并求$x \in [0, 3]$时$f(x)$的值域.

答案： 18.解:因为幂函数$y=f(x)$在区间$(0,+\infty)$上单调递增，则$-2m^{2}-m+3＞0$，即$2m^{2}+m-3＜0$，解得$-\frac{3}{2}＜m＜1$.又因为$m\in\mathbf{Z}$，所以$m=-1$或$m=0$.当$m=-1$时，$y=f(x)=x^{2}$为偶函数，不满足$f(-x)+f(x)=0$;当$m=0$时，$y=f(x)=x^{3}$为奇函数，满足$f(-x)+f(x)=0$，故$f(x)=x^{3}$，当$x\in[0,3]$时，$f(x)\in[0,27]$，即函数$f(x)$的值域为$[0,27]$.

19. (2025·吉林白城高一期末)已知幂函数$y = f(x)$的图象过点$(2, \sqrt{2})$.
(1)求函数$f(x)$的解析式，并求出它的定义域；
(2)试求满足$f(1 + a) ＞ f(3 - a)$的实数$a$的取值范围.

答案： 19.解:
(1)设$f(x)=x^{\alpha}$，代入点$(2,\sqrt{2})$得$2^{\alpha}=\sqrt{2}$，解得$\alpha=\frac{1}{2}$，即$f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$.函数$f(x)$的定义域为$[0,+\infty)$.
(2)由于$f(x)$的定义域为$[0,+\infty)$，且在$[0,+\infty)$上单调递增，由已知$f(1+a)＞f(3-a)$可得$\begin{cases}1+a\geq0,\\3-a\geq0,\\1+a＞3-a,\end{cases}$故$a$的取值范围是$(1,3]$.