《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

9. 函数$f(x)=x\ln(x^{2}+1)-2x$的部分图象大致为 (D)

答案： 9.D 解析：函数$f(x)=x\ln(x^{2}+1)-2x$的定义域为R，因为$f(-x)=-x\ln(x^{2}+1)+2x=-f(x)$，所以$f(x)$是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C选项；当$0＜x＜\sqrt{e^{2}-1}$时，$1＜x^{2}+1＜e^{2}$，则$f(x)=x\ln(x^{2}+1)-2x＜x\ln e^{2}-2x=0$，故排除A，B选项.故选D.

10. 已知$f(x)=2^{x}-a + 1$，且$f(x)＜6$在区间$(1,2)$恒成立，则实数$a$的取值范围是(B)

A.$(-\infty,1]$
B.$[-1,+\infty)$
C.$(-1,1]$
D.$(-1,2]$

答案： 10.B 解析：由解析式易知$f(x)$单调递增，当$x\in(1,2)$时，$f(x)＜6$恒成立，则$f(2)=5-a\leqslant6$，得$a\geqslant-1$.故选B.

11. (2025·重庆南岸区高一月考)已知函数$f(x)=\begin{cases}\log_{2}(x + 3),x\geq2,\\x^{2}+1,x＜2,\end{cases}$若$f(a)+f(-a)=29$，则正实数$a$的值为 ( )

A.$1$
B.$\frac{3\sqrt{6}}{2}$
C.$5$
D.$6$

答案： 11.C 解析：因为$a＞0$，故$f(-a)=a^{2}+1$，而当$a\geqslant2$时，有$f(a)=\log_{2}(a+3)$，故$\log_{2}(a+3)+a^{2}+1=29$，故$\log_{2}(a+3)+a^{2}=28$，而$g(a)=\log_{2}(a+3)+a^{2}$在$[2,+\infty)$上为增函数，且$g(5)=28$，故$a=5$，若$0＜a＜2$，则$f(a)=a^{2}+1$，故$2(a^{2}+1)=29$，而$2(a^{2}+1)＜10$，故$2(a^{2}+1)=29$在$(0,2)$上无解，故$f(a)+f(-a)=29$的正实数解为$a=5$.故选C.

12. (2025·湖南永州高一期中)若函数$f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{ax + a^{2}}$在$[1,+\infty)$上有最大值$\frac{1}{9}$，则实数$a$的值为 (A)

A.$1$
B.$-2$
C.$1$或$-2$
D.$1$或$-1$

答案： 12.A 解析：$\because$函数$f(x)=(\frac{1}{3})^{ax+a^{2}}$在$[1,+\infty)$上有最大值$\frac{1}{9}$，$\therefore a＞0$，$(\frac{1}{3})^{a+a^{2}}=\frac{1}{9}$，$\therefore a+a^{2}=2$，解得$a=1$或$a=-2$（舍去）.故选A.

13. (2025·山东淄博高一月考)若函数$f(x)=\log_{2}(4^{x}+m)-x - 1$为偶函数，则实数$m$的值为1。

答案： 13.1 解析：因为函数$f(x)$为偶函数，则$f(-x)=f(x)$，所以$\log_{2}(4^{x}+m)+x-1=\log_{2}(4^{x}+m)-x-1$，所以$2x=\log_{2}\frac{4^{x}+m}{4^{-x}+m}=\log_{2}\frac{(4^{x}+m)4^{x}}{1+m·4^{x}}=\log_{2}\frac{4^{x}+m}{1+m·4^{x}}+2x$，则$\log_{2}\frac{4^{x}+m}{1+m·4^{x}}=0$，即$\frac{4^{x}+m}{1+m·4^{x}}=1$，则$(4^{x}-1)(m-1)=0$，由$x$的任意性得$m=1$.当$m=1$时，$f(x)=\log_{2}(4^{x}+1)-x-1=\log_{2}(4^{x}+1)-\log_{2}2^{x}-1=\log_{2}\frac{4^{x}+1}{2^{x}}-1=\log_{2}(2^{x}+2^{-x})-1$，其定义域为R，所以$f(-x)=\log_{2}(2^{-x}+2^{x})-1=f(x)$，所以$f(x)$为偶函数，即$m=1$满足题意.故答案为1.

14. (2025·江西九江高一月考)已知函数$f(x)=\begin{cases}\log_{3}x,x＞0,\\3^{x},x\leq0,\end{cases}$则满足$f(a)＜\frac{1}{3}$的$a$的取值范围是 ______ 。

答案： 14.$(-\infty,-1)\cup(0,\sqrt[3]{3})$ 解析：根据题意得$\begin{cases}a＞0,\\\log_{3}a＜\frac{1}{3}\end{cases}$或$\begin{cases}a\leqslant0,\\3^{x}＜\frac{1}{3},\end{cases}$解得$0＜a＜\sqrt[3]{3}$或$a＜-1$，所以$a$的取值范围是$(-\infty,-1)\cup(0,\sqrt[3]{3})$.故答案为$(-\infty,-1)\cup(0,\sqrt[3]{3})$.

15. (2025·安徽亳州高一月考)已知$a＞0$且$a\neq1$，甲说：已知$f(x)=\begin{cases}(4 - a)x + 2a,x\geq1,\\a^{x}-2,x＜1\end{cases}$是$\mathbf{R}$上的增函数，乙说：函数$f(x)=\log_{2}(x^{2}-2ax + 4)$在区间$[2,+\infty)$上为增函数，若甲、乙两人说的话有且仅有一个正确，则$a$的取值范围是 ______ 。

答案： 15.$a\leqslant1$或$2\leqslant a＜4$ 解析：若甲说的正确，则由函数为增函数可得$\begin{cases}4-a＞0,\\a＞1,\\a^{1}-2\leqslant4-a+2a,\end{cases}$解得$1＜a＜4$；若乙说的正确，则需要$\begin{cases}a\leqslant2,\\2^{2}-4a+4＞0,\end{cases}$解得$a＜2$.所以当甲正确乙错误时，则$\begin{cases}1＜a＜4,\\a\geqslant2,\end{cases}$解得$2\leqslant a＜4$，当甲错误乙正确时，则$\begin{cases}a\leqslant1或a\geqslant4,\\a＜2,\end{cases}$解得$a\leqslant1$，综上，$a$的取值范围是$a\leqslant1$或$2\leqslant a＜4$.故答案为$a\leqslant1$或$2\leqslant a＜4$.

16. （2025·河南洛阳高一期末）已知函数$f(x)=\log_{2}(2^{x}+1)-kx(k\in\mathbf{R})$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数。
（1）求$k$的值；
（2）设$g(x)=f(x)+\frac{1}{2}x$，且$A(t,g(t))$，$B(t + 1,g(t + 1))$，$C(t + 2,g(t + 2))$，若$1\leq t\leq2$，求$\triangle ABC$面积的取值范围。

答案： 16.解：
(1)由$f(-x)=f(x)$得$\log_{2}(2^{-x}+1)+kx=\log_{2}(2^{x}+1)-kx$，$\therefore\log_{2}(2^{-x}+1)-\log_{2}(2^{x}+1)+2kx=0$，$\therefore\log_{2}\frac{2^{-x}+1}{2^{x}+1}+2kx=0$，从而$(2k-1)x=0$，$\therefore k=\frac{1}{2}$.
(2)由
(1)知$f(x)=\log_{2}(2^{x}+1)-\frac{1}{2}x$，$\therefore g(x)=f(x)+\frac{1}{2}x=\log_{2}(2^{x}+1)$.又$A(t,g(t))$，$B(t+1,g(t+1))$，$C(t+2,g(t+2))$，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×[(t+2)-t][g(t+2)+g(t)]-\frac{1}{2}×[(t+1)-t][g(t+1)+g(t)]-\frac{1}{2}×[(t+2)-(t+1)][g(t+2)+g(t+1)]=\frac{1}{2}[g(t+2)+g(t+1)]-\frac{1}{2}[g(t+1)+g(t)]-\frac{1}{2}[g(t+2)-g(t+1)]=\frac{1}{2}\log_{2}[\frac{(2^{t+1}+1)(2^{t+2}+1)}{2^{t+1}(2^{t+1}+1)}]=\log_{2}\sqrt{\frac{2^{2t+2}+2^{t+2}+2^{t+1}+1}{2^{2t+2}+2^{t+2}+1}}$，其中令$u=2^{t}$，则$\frac{2^{2t+2}+2^{t+2}+2^{t+1}+1}{2^{2t+2}+2^{t+2}+1}=1+\frac{2^{t}}{2^{2t+2}+2^{t+2}+1}=1+\frac{2^{t}}{4×2^{2t}+4×2^{t}+1}=1+\frac{1}{4×2^{t}+\frac{1}{2^{t}}+4}=h(u)$，由于$t\in[1,2]$，故$u=2^{t}\in[2,4]$，记函数$y=4u+\frac{1}{u}+4$，$u\in[2,4]$，下证$y$在$[2,4]$单调递增，任取$2\leqslant u_{1}＜u_{2}\leqslant4$，则$y_{1}-y_{2}=4u_{1}+\frac{1}{u_{1}}+4-4u_{2}-\frac{1}{u_{2}}-4=(u_{1}-u_{2})(4-\frac{1}{u_{1}u_{2}})$。因为$2\leqslant u_{1}＜u_{2}\leqslant4$，所以$u_{1}-u_{2}＜0$，$u_{1}u_{2}\in(4,16)$，所以$4-\frac{1}{u_{1}u_{2}}＞0$，所以$y_{1}-y_{2}=(u_{1}-u_{2})(4-\frac{1}{u_{1}u_{2}})＜0$，所以函数$y=4u+\frac{1}{u}+4$，$u\in[2,4]$是单调增函数，$\therefore4u+\frac{1}{u}+4\in[\frac{25}{2},\frac{81}{4}]$，$\therefore h(u)\in[\frac{85}{81},\frac{27}{25}]$.故$\triangle ABC$面积的取值范围为$[\log_{2}\frac{\sqrt{85}}{9},\log_{2}\frac{3\sqrt{3}}{5}]$。