《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

9. $\boldsymbol{\star\star}$ (2025·江苏宿迁高一期中)下列说法正确的有 (BC)

A.若定义在$\boldsymbol{\mathrm{R}}$上的函数$f(x)$满足$f(2)＞f(1)$,则函数$f(x)$是增函数
B.若定义在$\boldsymbol{\mathrm{R}}$上的函数$f(x)$满足$f(2)\neq f(-2)$,则函数$f(x)$不是偶函数
C.定义域为$\boldsymbol{\mathrm{R}}$的函数$f(x)$的图象与垂直于$x$轴的直线有且只有一个交点
D.若偶函数$f(x)$在$[3,4]$上是增函数,则函数$f(x)$在$[-4,-3]$上是增函数且最小值是$f(-4)$

答案： 9.BC解析:选项A，函数$f(x)$仅满足$f(2) ＞ f(1)$，但例如$f(2)$与$f(3)$的大小关系不确定，不能确定是增函数，A错；选项B，假如$f(x)$是偶函数，则必有$f(-2) = f(2)$，与$f(-2) \neq f(2)$矛盾，B正确；选项C，根据函数的定义，对任意的实数$x$，$f(x)$是唯一确定的值，C正确；选项D，若偶函数$f(x)$在区间$[3, 4]$上是增函数，则函数$f(x)$在区间$[-4, -3]$上是减函数且最小值是$f(-3)$，D错。故选BC。

10. $\boldsymbol{\star\star\star}$ (2025·江苏泰州中学高一期中)已知$f(x)=\begin{cases}x^2,x\geqslant5,\\\dfrac{1}{2}f(x+1),x＜5,\end{cases}$则 ( )

A.$2f(4)=f(5)$
B.$2f(5)=f(6)$
C.$f(1)=\dfrac{25}{16}$
D.当$x\in[4,5)$时,$f(x)=\dfrac{(x+1)^2}{2}$

答案： 10.ACD解析:因为$f(x) = \begin{cases}x^2, x \geq 5, \frac{1}{2}f(x + 1), x ＜ 5,\end{cases}$所以$f(4) = \frac{1}{2}f(5)$，即$2f(4) = f(5)$，故A正确；所以$f(5) = 25$，$f(6) = 36$，$2f(5) \neq f(6)$，故B错误；所以$f(1) = \frac{1}{2}f(2) = \frac{1}{4}f(3) = \frac{1}{8}f(4) = \frac{1}{16}f(5) = \frac{25}{16}$，故C正确；当$x \in [4, 5)$时，$x + 1 \in [5, 6)$，所以$f(x) = \frac{1}{2}f(x + 1) = \frac{(x + 1)^2}{2}$，故D正确。故选ACD。

11. $\boldsymbol{\star\star\star}$ (2025·江苏镇江高一期中)对于函数$f(x)$,如果实数$x_0$满足$f(x_0)=x_0$,则称$x_0$为函数$f(x)$的不动点;如果实数$x_0$满足$f(f(x_0))=x_0$,则称$x_0$为函数$f(x)$的稳定点.如果$f(x)=x^2+bx+c$的不动点为$-2,1$,则下列说法正确的是 (BCD)

A.$\{x|f(x)＜0\}=\{x|-2＜x＜1\}$
B.$\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$是函数$f(x)$的一个稳定点
C.$\{x|f(f(x))=f(x)\}=\{-3,-2,0,1\}$
D.$\{x|f(x)=x\}\subseteq\{x|f(f(x))=x\}$

答案： 11.BCD解析:因为$f(x) = x^2 + bx + c$的不动点为$-2, 1$，所以$-2, 1$是方程$x^2 + bx + c = x$的根，所以$\begin{cases}-2 + 1 = -(b - 1), \\-2 × 1 = c,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = 2, \\c = -2,\end{cases}$所以$f(x) = x^2 + 2x - 2$，由$x^2 + 2x - 2 ＜ 0$，解得$-1 - \sqrt{3} ＜ x ＜ -1 + \sqrt{3}$，故$\{x|f(x) ＜ 0\} = \{x|-1 - \sqrt{3} ＜ x ＜ -1 + \sqrt{3}\}$，故A错误；因为$f(\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}) = \frac{(-3 + \sqrt{5})^2}{2} + 2 × \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} - 2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$，$f(\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}) = \frac{(-3 - \sqrt{5})^2}{2} + 2 × \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} - 2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$，所以$f(f(\frac{-3 + \sqrt{5}}{2})) = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$，所以$\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$是函数$f(x)$的一个稳定点，故B正确；令$f(x) = t$，则$f(t) = t$，所以$t$是函数$f(x)$的不动点，由已知可得$t = 1$或$t = -2$，由$f(x) = -2$，得$x^2 + 2x - 2 = -2$，解得$x = 0$或$x = -2$，由$f(x) = 1$，得$x^2 + 2x - 2 = 1$，解得$x = -3$或$x = 1$，所以$\{x|f(f(x)) = f(x)\} = \{-3, -2, 0, 1\}$，故C正确；设$x_0$是不动点，则$f(x_0) = x_0$，故$f(f(x_0)) = f(x_0) = x_0$，即$x_0$是稳定点，所以$\{x|f(x) = x\} \subseteq \{x|f(f(x)) = x\}$，故D正确。故选BCD。

12. $\boldsymbol{\star\star}$ (2025·江苏无锡一中高一月考)已知$f(x)$是二次函数,且$f(0)=3$,若$f(x+1)-f(x)=2x+3$,则$f(x)$的解析式为_.

答案： 12.$f(x) = x^2 + 2x + 3$解析:由已知设$f(x) = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$，因为$f(0) = 3$，所以$c = 3$。因为$f(x + 1) - f(x) = a(x + 1)^2 + b(x + 1) + 3 - (ax^2 + bx + 3) = 2ax + a + b$，$f(x + 1) - f(x) = 2x + 3$，所以$\begin{cases}2a = 2, \\a + b = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1, \\b = 2,\end{cases}$所以$f(x) = x^2 + 2x + 3$。故答案为$f(x) = x^2 + 2x + 3$。

13. $\boldsymbol{\star\star\star}$ (2025·江苏扬州高一期中)已知偶函数$f(x)$在区间$(-\infty,0]$上单调递减,且$f(-2)=0$,则不等式$(x-2)f(x)＜0$的解集为_.

答案： 13.$(-\infty, -2)$解析:因为函数$f(x)$在区间$(-\infty, 0]$上单调递减，且$f(-2) = 0$，所以当$x ＜ -2$时，$f(x) ＞ 0$，当$-2 ＜ x \leq 0$时，$f(x) ＜ 0$。又因为函数$f(x)$为偶函数，所以当$x ＞ 2$时，$f(x) ＞ 0$，当$0 \leq x ＜ 2$时，$f(x) ＜ 0$。若$(x - 2)f(x) ＜ 0$，则$\begin{cases}x - 2 ＞ 0, \\f(x) ＜ 0,\end{cases}$此时无解，或$\begin{cases}x - 2 ＜ 0, \\f(x) ＞ 0,\end{cases}$得$x ＜ -2$，所以不等式$(x - 2)f(x) ＜ 0$的解集为$(-\infty, -2)$。故答案为$(-\infty, -2)$。

14. $\boldsymbol{\star\star\star}$ (2025·江苏南京师大附中高一期中)设$5\leqslant a\leqslant50$,函数$f(x)=x+\dfrac{100}{x}$在$(0,a]$上的最小值为$m_1$,在区间$[a,+\infty)$上的最小值为$m_2$,若存在两个不同的$a$,使得$m_1m_2=t$成立,则实数$t$的取值范围是_.

答案： 14.$(400, 500]$解析:分以下三种情形讨论即可:
①$5 \leq a ＜ 10$时，函数$f(x) = x + \frac{100}{x}$在$(0, a]$上单调递减，在$(a, 10]$上单调递增，所以$m_1 = f(a) = a + \frac{100}{a}$，$m_2 = f(10) = 20$，即$m_1m_2 = 20(a + \frac{100}{a}) \in (400, 500]$；
②$a = 10$时，函数$f(x) = x + \frac{100}{x}$在$(0, 10]$上单调递减，在$[10, +\infty)$上单调递增，所以$m_1 = m_2 = f(10) = 20$，即$m_1m_2 = 400$；
③$10 ＜ a \leq 50$时，函数$f(x) = x + \frac{100}{x}$在$(0, 10]$上单调递减，在$(10, a)$上单调递增，在$[a, +\infty)$上单调递增，所以$m_1 = f(10) = 20$，$m_2 = f(a) = a + \frac{100}{a}$，即$m_1m_2 = 20(a + \frac{100}{a}) \in (400, 1040]$；
所以要想存在两个不同的$a$使得$m_1m_2$相同，则必须一个$a \in [5, 10)$，另一个$a \in (10, 50]$，即$t \in (400, 500] \cap (400, 1040] = (400, 500]$。故答案为$(400, 500]$。

15. $\boldsymbol{\star\star}$ (13分)(2025·江苏扬州高一期中)已知函数$f(x)=\dfrac{x+m}{x-3m}(m\in\boldsymbol{\mathrm{R}})$的图象经过点$(2,-1)$.
(1)求函数$f(x)$的解析式;
(2)求$f(f(-1))$的值;
(3)当$f(f(x))=5$时,求$x$的值.

答案： 15.解:
(1)将点$(2, -1)$代入得$-1 = \frac{2 + m}{2 - 3m}$，解得$m = 2$，则$f(x) = \frac{x + 2}{x - 6}$。
(2)$f(-1) = \frac{-1 + 2}{-1 - 6} = -\frac{1}{7}$，则$f(f(-1)) = f(-\frac{1}{7}) = \frac{-\frac{1}{7} + 2}{-\frac{1}{7} - 6} = -\frac{13}{43}$。
(3)令$f(x) = t$，则$f(t) = 5$，即$\frac{t + 2}{t - 6} = 5$，解得$t = 8$，则$f(x) = 8$，即$\frac{x + 2}{x - 6} = 8$，解得$x = \frac{50}{7}$。