《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. * 已知实数$a,b$，则“$ab\geq0$”是“$a + b\geq 2\sqrt{ab}$”的 (B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： 1.B 解析：因为$a+b\geq2\sqrt{ab}$等价于$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq0$，所以$a\geq0,b\geq0$，所以“$ab\geq0$”是“$a+b\geq2\sqrt{ab}$”的必要不充分条件.故选B.

2. (多选)(2025·山西大同高一月考)若$a,b\in\mathbf{R}$，且$ab ＞ 0$，则下列不等式中，恒成立的是 (AD)

A.$a^{2}+b^{2}\geq 2ab$
B.$a + b\geq 2\sqrt{ab}$
C.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}＞\frac{2}{\sqrt{ab}}$
D.$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\geq\frac{a + b}{2}$

答案： 2.AD 解析：对于A，$\forall a,b\in\mathbf{R}$，不等式$a^2+b^2\geq2ab$成立，A正确；对于B，由于$a,b\in\mathbf{R}$，且$ab＞0$，当$a＜0,b＜0$时，$a+b＜0$，而$2\sqrt{ab}＞0$，不等式不成立，B错误；对于C，由于$a,b\in\mathbf{R}$，且$ab＞0$，当$a＜0,b＜0$时，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}＜0$，而$\frac{2}{\sqrt{ab}}＞0$，不等式不成立，C错误；对于D，由$a,b\in\mathbf{R}$，且$ab＞0$，所以$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq\frac{a+b}{2}$，当且仅当$a=b$时取等号，D正确.故选AD.

3. 如图，正方形的边长为$a + b(a ＞ 0,b ＞ 0)$，请利用$OA\leq OB + BA$，写出一个简练优美的含有$a,b$的不等式：$\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}(a＞0,b＞0)$，其中“$=$”成立的条件为$a = b$。

答案： 3.$\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}(a＞0,b＞0) a = b$ 解析：正方形的边长为$a + b(a＞0,b＞0)$，由勾股定理可得$OA = \sqrt{2}(a + b),OB = BA = \sqrt{a^2 + b^2}\because OA\leq OB + BA,\therefore\sqrt{2}(a + b)\leq\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{a^2 + b^2}$，整理得$\frac{a + b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$，当且仅当$a = b$时取等号.故答案为$\frac{a + b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}(a＞0,b＞0);a = b$.

4. * (2025·江西上饶高一月考)已知$a ＞ b ＞ 0$，则下列不等式恒成立的是 (C)

A.$b ＞ \frac{a + b}{2} ＞ \sqrt{ab}$
B.$\frac{a + b}{2} ＞ b ＞ \sqrt{ab}$
C.$\frac{a + b}{2} ＞ \sqrt{ab} ＞ b$
D.$\sqrt{ab} ＞ \frac{a + b}{2} ＞ b$

答案： 4.C 解析：由$a＞b＞0$，得$\frac{a + b}{2}＞\sqrt{ab},ab＞b^2$，则$\sqrt{ab}＞b$，因此$\frac{a + b}{2}＞\sqrt{ab}＞b$.故选C.

5. (2025·广东江门高一月考)已知$x ＞ 0$，$A = x - 2$，$B = -\frac{1}{x}$，则$A$与$B$的大小关系是 (A)

A.$A\geq B$
B.$A\leq B$
C.$A ＞ B$
D.$A ＜ B$

答案： 5.A 解析：因为$x＞0$，$A = x - 2$，$B = -\frac{1}{x}$，所以$A - B = x - 2 +\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x·\frac{1}{x}} - 2 = 0$，即$A\geq B$，当且仅当$x = 1$时，等号成立.故选A.

6. 北师教材习题 如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母$a,b(a\neq b)$的不等式表示为$\frac{1}{2}(a^2 + b^2)＞ab(a\neq b)$。

答案： 6.$\frac{1}{2}(a^2 + b^2)＞ab(a\neq b)$ 解析：题图①是由两个等腰直角三角形构成的，面积$S_1 = \frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2$.题图②是一个矩形，面积$S_2 = ab$，可得$\frac{1}{2}(a^2 + b^2)＞ab(a\neq b)$.故答案为$\frac{1}{2}(a^2 + b^2)＞ab(a\neq b)$.

7. * (2025·山东青岛高一月考)设$x,y ＞ 0$且$x + 2y = 40$，则$xy$的最大值是 (A)

A.200
B.50
C.20
D.10

答案： 7.A 解析：依题意$xy = \frac{1}{2}· x·2y\leq\frac{1}{2}(\frac{x + 2y}{2})^2 = 200$，当且仅当$x = 2y = 20$时等号成立.故选A.

8. (2025·江苏南通高一月考)已知正数$a,b$满足$ab = 2$，则$\frac{1}{a}+\frac{8}{b}$的最小值是 (D)

A.$\frac{9\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{9 + 4\sqrt{2}}{2}$
C.$9 + 4\sqrt{2}$
D.4

答案： 8.D 解析：由题可知$a＞0,b＞0,ab = 2$，所以$\frac{1}{a}+\frac{8}{b}\geq2\sqrt{\frac{8}{ab}} = 4$，当且仅当$\frac{1}{a}=\frac{8}{b}$且$ab = 2$，即$a=\frac{1}{2},b = 4$时等号成立，故选D.

9. 已知$a ＞ 0,b ＞ 0$，$a + b = 4$，则$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的最大值为 (C)

A.2
B.$\sqrt{3}+1$
C.$2\sqrt{2}$
D.4

答案： 9.C 解析：$\because a＞0,b＞0,a + b = 4,\therefore\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq\sqrt{\frac{a + b}{2}}$，即$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2}·\sqrt{a + b}=2\sqrt{2}$，当且仅当$a = b = 2$时等号成立.所以$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的最大值为$2\sqrt{2}$.故选C.

10. (2025·天津北辰区高一月考)若$x+\frac{1}{x - 2}(x ＞ 2)$在$x = n$处取得最小值，则$n =$ (B)

A.1
B.3
C.$\frac{7}{2}$
D.4

答案： 10.B 解析：依题意得，$x - 2＞0$，则$x - 2+\frac{1}{x - 2}+2\geq2\sqrt{(x - 2)·\frac{1}{x - 2}}+2 = 4$，当且仅当$x - 2=\frac{1}{x - 2}$，即$x = 3$时等号成立.故选B.

11. (2025·福建莆田高一期中)已知$0 ＜ x ＜ \frac{2}{3}$，则$x(2 - 3x)$的最大值是 (A)

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{2}{9}$
D.$\frac{1}{6}$

答案： 11.A 解析：已知$0＜x＜\frac{2}{3}$，则$x(2 - 3x)=\frac{1}{3}·3x(2 - 3x)\leq\frac{1}{3}·(\frac{3x + 2 - 3x}{2})^2=\frac{1}{3}$，当且仅当$3x = 2 - 3x$，即$x=\frac{1}{3}$时，等号成立.故$x(2 - 3x)$的最大值是$\frac{1}{3}$.故选A.

12. 已知$a ＞ 0,b ＞ 0$，$ab = 1$，且$m = b+\frac{1}{a}$，$n = a+\frac{1}{b}$，则$m + n$的最小值是4。

答案： 12.4 解析：$m + n = b+\frac{1}{a}+a+\frac{1}{b}=a + b+\frac{a + b}{ab}=2b + 2a\geq2\sqrt{4ab}=4$，当且仅当$a = b = 1$时等号成立.故答案为4.