《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. * (多选)下列说法中正确的是 (AC)
A.图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B.奇函数的图象一定过坐标原点
C.图象关于$ y $轴对称的函数是偶函数
D.偶函数的图象一定与$ y $轴相交

答案： 1.AC 解析:根据函数奇偶性的定义和性质可得，图象关于坐标原点对称的函数满足$f(-x)=-f(x)$，所以是奇函数，即A正确;图象关于$y$轴对称的函数满足$f(-x)=f(x)$，所以是偶函数，即C正确;奇函数在原点处可能没有意义，例如$y=\frac{1}{x}$是奇函数，但其图象不过坐标原点，即B错误;同理，函数$y=\frac{1}{x^2}$为偶函数，但与$y$轴不相交，即D错误.故选AC.

2. 若函数$ f(x) $是在$ \boldsymbol{\mathrm{R}} $上的奇函数,则下列结论不正确的是 (D)
A.$ f(x)+f(-x)=0 $
B.$ f(0)=0 $
C.$ f(x) · f(-x) \leq 0 $
D.$ \dfrac{f(x)}{f(-x)} = 1 $

答案： 2.D 解析:AB选项，因为$f(x)$是在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(x)+f(-x)=0$，且$f(0)=0$，AB正确;C选项，因为$f(-x)=-f(x)$，所以$f(x)· f(-x)=-f^2(x)\leq0$，当$x=0$时，等号成立，C正确;D选项，当$x=0$时，$f(-x)=0$，此时$\frac{f(x)}{f(-x)}$无意义，D错误.故选D.

3. * 下列图象表示具有奇偶性的函数可能是 (B)

答案： 3.B 解析:因为奇函数关于原点对称，偶函数关于$y$轴对称，因此可知满足题意的为选项B.

4. * (多选)(2025·陕西榆林高一期中)下列函数是奇函数的是 (AB)
A.$ y = x $
B.$ y = -\dfrac{1}{x} $
C.$ y = \sqrt{x} $
D.$ y = x^2 $

答案： 4.AB 解析:对于A，令$y = f(x)$，定义域为$\mathbf{R}$，$f(-x)= -x = -f(x)$，$y = x$是奇函数，故A正确;对于B，令$y = f(x)$，定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，且$f(-x)=-\frac{1}{-x}=-(-\frac{1}{x})=-f(x)$，可得$y = \frac{1}{x}$是奇函数，故B正确;对于C，令$y = f(x)$，$y = \sqrt{x}$的定义域为$[0,+\infty)$，是非奇非偶函数，故C错误;对于D，令$y = f(x)$，定义域为$\mathbf{R}$，且$f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，所以$y = x^2$是偶函数，不是奇函数，故D错误.故选AB.

5. 函数$ f(x) = x · |x| $的奇偶性是 (A)
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数

答案： 5.A 解析:函数$f(x)=x·|x|$的定义域为$\mathbf{R}$，又$f(-x)=-x·|-x|=-x·|x|=-f(x)$，所以函数$f(x)$是奇函数.故选A.

6. (2025·广东汕头高一期中)写出一个在$ (0, +\infty) $上单调递减的奇函数_.

答案： 6.$y=\frac{1}{x}$(答案不唯一) 解析:$y=\frac{1}{x}$是奇函数，且在$(0,+\infty)$上单调递减，符合题意.故答案为$y=\frac{1}{x}$(答案不唯一).

7. 判断下列函数的奇偶性并证明:
(1)$ f(x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x} $;
(2)$ f(x) = x^2 - 2|x| + 1, x \in [-1, 1] $;
(3)$ f(x) = \begin{cases} x^2 + x (x ＜ 0), \\ -x^2 + x (x ＞ 0). \end{cases} $

答案： 7.解:
(1)$\because f(x)=\sqrt{x - 1}+\sqrt{1 - x}$，$\therefore\begin{cases}x - 1\geq0,\\1 - x\geq0\end{cases}\Rightarrow x = 1$，$\therefore f(x)$的定义域为$\{1\}$，不关于原点对称，$\therefore f(x)$不是奇函数也不是偶函数.
(2)函数的定义域为$[-1,1]$，关于原点对称.又$\because f(-x)=(-x)^2 - 2|-x| + 1 = x^2 - 2|x| + 1 = f(x)$，$\therefore f(x)$是偶函数.
(3)函数的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，关于原点对称.当$x＜0$时，$-x＞0$，则$f(-x)=-(-x)^2 - x = -(x^2 + x)=-f(x)$，当$x＞0$时，$-x＜0$，则$f(-x)=(-x)^2 - x = x^2 - x = -f(x)$.综上，对$x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，都有$f(-x)=-f(x)$，$\therefore f(x)$为奇函数.
易错提醒
证明奇偶性的第一步必须先检验定义域是否关于原点对称.

8. * (2025·广东惠州高一期中)函数$ f(x) $为定义在$ [-1, 2a + 1] $上的偶函数,则实数$ a $等于 (C)


A. $ -1 $
B. $ 1 $
C. $ 0 $
D. 无法确定

答案： 8.C 解析:因为$f(x)$为定义在$[-1,2a + 1]$上的偶函数，所以$-1 + 2a + 1 = 0$，解得$a = 0$.故选C.
重难点拨
具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称.

9. (多选)已知函数$ f(x) $是定义在$ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $上的偶函数,当$ x \in (-\infty, 0) $时,$ f(x) = x - 1 $,若$ f(a)f(-a) = 4 $,则实数$ a $的值可为 (BC)


A. $ -3 $
B. $ -1 $
C. $ 1 $
D. $ 3 $

答案： 9.BC 解析:由题意，函数$f(x)$是定义在$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$上的偶函数，当$x\in(-\infty,0)$时，$f(x)=x - 1$，①当$a＞0$时，$f(a)f(-a)=[f(-a)]^2=(-a - 1)^2 = 4$，解得$a = 1$或$a = -3$(舍去);②当$a＜0$时，$f(a)f(-a)=[f(a)]^2=(a - 1)^2 = 4$，解得$a = -1$或$a = 3$(舍去).综上可得，$a = -1$或$1$.故选BC.

10. 如图,给出奇函数$ y = f(x) $的局部图象,则$ 2f(-1) + 3f(-2) $的值为 (A)



A. $ -7 $
B. $ 7 $
C. $ 5 $
D. $ -5 $

答案： 10.A 解析:依题意，$f(x)$是奇函数，结合图象可知$2f(-1)+3f(-2)=-2f(1)-3f(2)=-2×1 - 3×\frac{5}{3}=-7$.故选A.