《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. (2025·江苏南京师大附中高一期中)“$a ＞ 0,b ＞ 0$”是“$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq 2$”的 (A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： 1.A 解析：当$a＞0,b＞0$时，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2\sqrt{\frac{b}{a}·\frac{a}{b}} = 2$，当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$，即$a = b$时取等号，所以充分性成立；当$a = b = - 1$时，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2$也成立，不满足$a＞0,b＞0$，所以必要性不成立.所以“$a＞0,b＞0$”是“$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2$”的充分不必要条件.故选A.

2. (多选)(2025·四川成都高一期中)下列函数的最小值为4的是 (BC)

A.$y = x+\frac{4}{x}$
B.$y = x+\frac{1}{x - 1}+1(x ＞ 1)$
C.$y=\frac{4x^{2}-4x + 9}{2x}(x ＞ 0)$
D.$y=\frac{x^{2}+13}{\sqrt{x^{2}+9}}$

答案： 2.BC 解析：A选项，当$x＜0$时，$x+\frac{4}{x}\leq - 4$，故A错误；B选项，$x+\frac{1}{x - 1}+1=x - 1+\frac{1}{x - 1}+2\geq4$，当且仅当$x = 2$时等号成立，故B正确；C选项，化简可得$\frac{4x^2 - 4x + 9}{2x}=2x+\frac{9}{2x}-2\geq6 - 2 = 4$，当且仅当$x=\frac{3}{2}$时，等号成立，故C正确；D选项，易知$y=\sqrt{x^2 + 9}+\frac{4}{\sqrt{x^2 + 9}}=t+\frac{4}{t}(t\geq3)$，当$t = 3$，即$x = 0$时，等号成立，最小值为$\frac{13}{3}$，故D错误.故选BC.

3. * (2025·山西太原高一期中)已知$0 ＜ a ＜ \sqrt{2}$，则$a\sqrt{2 - a^{2}}$的最大值为 (C)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.1
D.$\sqrt{2}$

答案： 3.C 解析：因为$0＜a＜\sqrt{2}$，所以$2 - a^2＞0$，所以$a\sqrt{2 - a^2}=\sqrt{a^2(2 - a^2)}\leq\frac{a^2+(2 - a^2)}{2}=1$，当且仅当$a^2=2 - a^2$，即$a = 1$时取等号，所以$a\sqrt{2 - a^2}$的最大值为1.故选C.

4. * (2025·陕西安康高一期中)已知$x ＞ 0,y ＞ 0$，若$4x + y = 1$，则$(4x + 1)(y + 1)$的最大值为 (A)

A.$\frac{9}{4}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{3}{4}$
D.1

答案： 4.A 解析：$(4x + 1)(y + 1)\leq[\frac{(4x + 1)+(y + 1)}{2}]^2=\frac{9}{4}$，当且仅当$\begin{cases}4x + 1=y + 1\\4x + y = 1\end{cases}$，即$x=\frac{1}{8},y=\frac{1}{2}$时，等号成立.故选A.

5. * (2025·浙江温州高一期中)已知正数$a,b$满足$\frac{1}{a}+\frac{1}{b + 1}=1$，则$a + b$的最小值为 (B)

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 5.B 解析：由题意，得$a + b=(a + b + 1)-1=(a + b + 1)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b + 1})-1=\frac{b + 1}{a}+\frac{a}{b + 1}+1\geq2\sqrt{\frac{b + 1}{a}·\frac{a}{b + 1}}+1 = 3$，当且仅当$\frac{b + 1}{a}=\frac{a}{b + 1}$，即$a = 2,b = 1$时取等号.故选B.

6. * (2025·河南周口高一月考)若正实数$a,b$满足$4a^{2}+b^{2}+ab = 5$，则$2a + b$的最大值为 (C)

A.1
B.2
C.$2\sqrt{2}$
D.4

答案： 6.C 解析：$\because4a^2 + b^2+4ab = 5,\therefore4a^2 + b^2+4ab=5 + 3ab.\because a＞0,b＞0,\therefore(2a + b)^2 - 5 = 3ab=\frac{3}{2}·2a· b\leq\frac{3}{2}(\frac{2a + b}{2})^2=\frac{3}{8}(2a + b)^2,\therefore\frac{5}{8}(2a + b)^2\leq5,2a + b\leq2\sqrt{2}$，当且仅当$2a = b$，即$a=\frac{\sqrt{2}}{2},b=\sqrt{2}$时取等号.故选C.

7. * 《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步。问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图①，用对角线将长和宽分别为$b$和$a$的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)。将三种颜色的图形进行重组，得到如图②所示的矩形，该矩形长为$a + b$，宽为内接正方形的边长$d$。由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图③，设$D$为斜边$BC$的中点，作直角三角形$ABC$的内接正方形对角线$AE$，过点$A$作$AF\perp BC$于点$F$，则下列推理正确的是(C)


A.由图①和图②面积相等得$d=\frac{2ab}{a + b}$
B.由$AE\geq AF$可得$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}＞\sqrt{\frac{a + b}{2}}$
C.由$AD\geq AE$可得$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\geq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
D.由$AD\geq AF$可得$a^{2}+b^{2}＞2ab$

答案： 7.C 解析：对于A，由题图①和题图②面积相等得$ab = (a + b)d$，所以$d=\frac{ab}{a + b}$，故A错误.对于B，因为$AF\perp BC$，所以$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}· AF$，所以$AF=\frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$，$AE=\sqrt{2}d=\frac{\sqrt{2}ab}{a + b}$，因为$AE\geq AF$，所以$\frac{\sqrt{2}ab}{a + b}\geq\frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$，整理得$\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}\geq\frac{a + b}{2}$，故B错误.对于C，因为D为斜边BC的中点，所以$AD=\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$.因为$AD\geq AE$，所以$\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\geq\frac{\sqrt{2}ab}{a + b}$，整理得$a^2 + b^2\geq2ab$，故C正确.对于D，因为$AD\geq AF$，所以$\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\geq\frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$，整理得$a^2 + b^2\geq2ab$，故D错误.故选C.

8. * (2025·福建泉州高一期中)已知$0 ＜ a ＜ 1$，则$\frac{1}{a}+\frac{9}{1 - a}$的最小值为16。

答案： 8.16 解析：由$0＜a＜1$，得$1 - a＞0$，则$\frac{1}{a}+\frac{9}{1 - a}=(a + 1 - a)(\frac{1}{a}+\frac{9}{1 - a})=\frac{1 - a}{a}+\frac{9a}{1 - a}+10\geq2\sqrt{\frac{1 - a}{a}·\frac{9a}{1 - a}}+10 = 16$，当且仅当$\frac{1 - a}{a}=\frac{9a}{1 - a}$，即$a=\frac{1}{4}$时，等号成立，所以$\frac{1}{a}+\frac{9}{1 - a}$的最小值为16.故答案为16.

9. * (2025·江苏连云港高一月考)若正数$x,y,z$满足$x + y = xy$，$x + y + 3 = xyz$，则$z$的最大值是$\frac{7}{4}$。

答案： 9.$\frac{7}{4}$ 解析：由题意$x + y = xy\geq2\sqrt{xy}$，所以$xy\geq4$，当且仅当$x = y = 2$时等号成立，$z=\frac{x + y + 3}{xy}=1+\frac{3}{xy}\leq1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$，即$z$的最大值是$\frac{7}{4}$.故答案为$\frac{7}{4}$.

10. (2025·山东威海高一期中)已知实数$m,n$满足$m ＞ 2n ＞ 0$，则$m^{2}+\frac{2}{n(m - 2n)}$的最小值为8。

答案： 10.8 解析：因为$m＞2n＞0$，所以$m - 2n＞0,n(m - 2n)＞0$，所以$m^2+\frac{2}{n(m - 2n)}=[(m - 2n)+2n]^2+\frac{2}{n(m - 2n)}=(m - 2n)^2+4n^2+4n(m - 2n)+\frac{2}{n(m - 2n)}\geq4n(m - 2n)+4n(m - 2n)+\frac{2}{n(m - 2n)}=8n(m - 2n)+\frac{2}{n(m - 2n)}\geq2\sqrt{8n(m - 2n)·\frac{2}{n(m - 2n)}} = 8$，当且仅当$\begin{cases}8n(m - 2n)=\frac{2}{n(m - 2n)}\\m - 2n = 2n\end{cases}$即$\begin{cases}m = 2\\n=\frac{1}{2}\end{cases}$时，等号成立，所以$m^2+\frac{2}{n(m - 2n)}$的最小值为8.故答案为8.