《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. ★ (多选)(2025·湖南长沙高一期中)如图是函数$ y = f(x),x \in [-4,3] $的图象,则下列说法正确的是 (BD)


A.$ f(x) $在$ [-4,-1] \cup [1,3] $上单调递减
B.$ f(x) $在$ [-1,1] $上单调递增
C.$ f(x) $在区间$ (-1,3) $上的最大值为3,最小值为-2
D.$ f(x) $在$ [-1,3] $上有最大值3,有最小值-2

答案： 1.BD　解析:对于A,B选项,由函数$f(x)$图象可得,$f(x)$在$[-4,-1]$和$[1,3]$上单调递减,在$[-1,1]$上单调递增，故A错误,B正确;对于C选项,由图象可得,函数$f(x)$在区间$(-1,3)$上的最大值为3,无最小值,故C错误;对于D选项,由图象可得,函数$f(x)$在$[-1,3]$上有最大值3,有最小值 - 2,故D正确.故选BD.

2. ★★ (2025·江苏南京外国语学校高一期中)函数$ f(x) = \frac{x + 1}{x - 1} $在区间$ [2,6] $上的最大值为 (A)

A.3
B.$ \frac{7}{5} $
C.2
D.$ \frac{5}{3} $

答案： 2.A解析:因为$f(x)=\frac{x + 1}{x - 1}=\frac{(x - 1) + 2}{x - 1}=1+\frac{2}{x - 1}$,所以$f(x)=\frac{x + 1}{x - 1}$在区间$[2,6]$上是减函数,所以$f(x)$在$[2,6]$上的最大值为$f(2)=3$.故选A.

3. ★★ (2025·江苏连云港高一期中)已知函数$ f(x) = 2x + \frac{1}{x},x \in \left[ \frac{1}{2},2 \right] $,则函数$ f(x) $的值域为 (B)

A.$ \left[ 3,\frac{9}{2} \right] $
B.$ \left[ 2\sqrt{2},\frac{9}{2} \right] $
C.$ \left[ 2\sqrt{2},3 \right] $
D.$ \left[ \sqrt{2},3 \right] $

答案： 3.B解析:由题意得,设$x_1,x_2\in[\frac{1}{2},2]$,且$x_1＜x_2$,则$f(x_1)-f(x_2)=2x_1+\frac{1}{x_1}-(2x_2+\frac{1}{x_2})=2(x_1 - x_2)+\frac{x_2 - x_1}{x_1x_2}=(x_1 - x_2)(2-\frac{1}{x_1x_2})$.因为$x_1＜x_2$,所以$x_1 - x_2＜0$.又因为$x_1,x_2\in[\frac{1}{2},2]$,若$x_1,x_2\in[\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}]$,则$2-\frac{1}{x_1x_2}＜0$,此时$f(x_1)-f(x_2)＞0$,所以$f(x)=2x+\frac{1}{x}$在$[\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}]$上为减函数;若$x_1,x_2\in[\frac{\sqrt{2}}{2},2]$,则$2-\frac{1}{x_1x_2}＞0$,此时$f(x_1)-f(x_2)＜0$,所以$f(x)=2x+\frac{1}{x}$在$[\frac{\sqrt{2}}{2},2]$上为增函数;综上所述,函数$f(x)=2x+\frac{1}{x}$在$[\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}]$上为减函数,在$[\frac{\sqrt{2}}{2},2]$上为增函数,所以$f(x)_{\min}=f(\frac{\sqrt{2}}{2})=2\sqrt{2}$.因为$f(\frac{1}{2})=3,f(2)=\frac{9}{2}$,所以$f(x)_{\max}=\frac{9}{2}$,所以函数$f(x)=2x+\frac{1}{x},x\in[\frac{1}{2},2]$的值域为$[2\sqrt{2},\frac{9}{2}]$.故选B.

4. ★★ (2025·江苏无锡高一月考)已知函数$ f(x) = x + \sqrt{2x - 3} $,则函数$ f(x) $有 (C)

A.最小值1,无最大值
B.最大值$ \frac{3}{2} $,无最小值
C.最小值$ \frac{3}{2} $,无最大值
D.无最大值,无最小值

答案： 4.C解析:解法一:$f(x)=x+\sqrt{2x - 3}$的定义域为$[\frac{3}{2},+\infty)$,因为$y = x$和$y=\sqrt{2x - 3}$均在$[\frac{3}{2},+\infty)$上单调递增,所以$f(x)=x+\sqrt{2x - 3}$在$[\frac{3}{2},+\infty)$上单调递增,所以$f(x)_{\min}=f(\frac{3}{2})=\frac{3}{2}$,无最大值.
解法二:因为$f(x)=x+\sqrt{2x - 3}$,令$\sqrt{2x - 3}=t\in[0,+\infty)$,所以$x=\frac{t^2 + 3}{2}$,所以$f(x)=g(t)=\frac{t^2 + 3}{2}+t=\frac{1}{2}(t + 1)^2+1,t\in[0,+\infty)$.因为$g(t)$的对称轴为直线$t=-1$,所以$g(t)$在$[0,+\infty)$上单调递增,所以$g(t)_{\min}=g(0)=\frac{3}{2}$,无最大值，所以$f(x)$的最小值为$\frac{3}{2}$,无最大值.故选C.
易错提醒：最值与值域不同,一个函数一定有值域,但不一定存在最值.
①若函数$f(x)$的值域为$[a,b]$,则函数$f(x)$的最小值为$a$,最大值为$b$;②若函数$f(x)$的值域为$(a,b)$,则函数$f(x)$不存在最小值,也不存在最大值;③若函数$f(x)$的值域为$[a,b)$,则函数$f(x)$的最小值为$a$,不存在最大值;④若函数$f(x)$的值域为$(a,b]$,则函数$f(x)$不存在最小值,最大值为$b$.

5. ★★ 函数$ y = |x^2 - 2x - 3| $在$ x \in [-1,3] $上的最大值为 4.

答案：
5.4解析:由题意可知$y = |x^2 - 2x - 3|=|(x - 1)^2 - 4|$,作出函数$y = |x^2 - 2x - 3|,x\in[-1,3]$的图象,如图所示.

由图可知,$y = |x^2 - 2x - 3|$在$[-1,1]$上单调递增,在$[1,3]$上单调递减,所以当$x = 1$时,$y = |x^2 - 2x - 3|$取得最大值为$|1^2 - 2×1 - 3|=4$.故答案为4.

6. ★ 若函数$ y = ax + 1 $在区间$ [1,3] $上的最大值是4,则实数$ a $的值为 (B)

A.-1
B.1
C.3
D.1或3

答案： 6.B解析:当$a＞0$时,$y = ax + 1$在区间$[1,3]$上为增函数,则当$x = 3$时,$y$取得最大值,即$3a + 1 = 4$,解得$a = 1$;当$a＜0$时,$y = ax + 1$在区间$[1,3]$上为减函数,则当$x = 1$时,$y$取得最大值，即$a + 1 = 4$,解得$a = 3$(舍去),所以$a = 1$.故选B.

7. ★★ (2025·江西鹰潭高一月考)已知函数$ y = x^2 - 2x + 3 $在闭区间$ [0,m] $上有最大值3,最小值2,则$ m $的取值范围是 (D)

A.$ [1, +\infty) $
B.$ [0,2] $
C.$ (-\infty,2] $
D.$ [1,2] $

答案： 7.D解析:因为$y = x^2 - 2x + 3=(x - 1)^2 + 2$,所以当$x = 1$时,函数取得最小值2,因为$f(0)=f(2)=3$,而函数在闭区间$[0,m]$上有最大值3,最小值2,所以$1\leq m\leq2$.故选D.

8. ★★ (2025·河南开封高一期中)某厂以$ x $千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求$ 1 \leq x \leq 10 $),每小时可获得利润$ 100 \left( 3x + 1 - \frac{2}{x} \right) $元,要使生产100千克该产品获得的利润最大,该厂应选取的生产速度是 (C)

A.2千克/小时
B.3千克/小时
C.4千克/小时
D.6千克/小时

答案： 8.C解析:由题意得,生产100千克该产品获得的利润为$f(x)=\frac{100}{x}·100(3x + 1-\frac{2}{x})=\frac{10000}{x}(3+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2})=10000[-2(\frac{1}{x})^2+\frac{1}{x}+3],1\leq x\leq10$,令$t=\frac{1}{x},\frac{1}{10}\leq t\leq1$,则$f(t)=10000(-2t^2 + t + 3)=-20000[(t-\frac{1}{4})^2-\frac{25}{16}]$,故当$t=\frac{1}{4}$时,$f(t)$最大,此时$x = 4$.故选C.

9. ★★ 若函数$ f(x) = -\frac{a}{x} + b(a ＞ 0) $在$ [1,3] $上的值域为$ [1,3] $,则$ a = $ 3,$ b = $ 4.

答案： 9.3 4解析:因为函数$f(x)=-\frac{a}{x}+b(a＞0)$在$[1,3]$上单调递增,且值域为$[1,3]$,所以$f(1)=-a + b = 1$且$f(3)=-\frac{a}{3}+b = 3$,解得$a = 3,b = 4$.故答案为3;4.

10. ★★★ 已知函数$ f(x) = \frac{2x}{x - 1} $,$ f(x) \geq a $在区间$ [3,5] $上恒成立,则实数$ a $的最大值是 (D)
视频讲解

A.3
B.$ \frac{1}{3} $
C.$ \frac{2}{5} $
D.$ \frac{5}{2} $

答案： 10.D解析:因为$f(x)=\frac{2x}{x - 1}=\frac{2(x - 1)+2}{x - 1}=2+\frac{2}{x - 1}$,所以函数$f(x)$在$[3,5]$上单调递减,函数$f(x)$的最小值为$f(5)=\frac{5}{2}$,所以$a\leq\frac{5}{2}$,$a$的最大值是$\frac{5}{2}$.故选D.

11. ★★★ (2025·湖北武汉高一月考)已知存在$ x \in [1, +\infty) $,不等式$ a \leq \frac{1}{x^2 - x + 2} $成立,则实数$ a $的取值范围是 $(-\infty,\frac{1}{2}]$.

答案： 11.$(-\infty,\frac{1}{2}]$解析:若存在$x\in[1,+\infty)$,不等式$a\leq\frac{1}{x^2 - x + 2}$成立,则$a\leq(\frac{1}{x^2 - x + 2})_{\max}$即可,$x\in[1,+\infty)$,记$f(x)=x^2 - x + 2=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4},x\in[1,+\infty)$.因为$f(x)$在$[1,+\infty)$上单调递增,所以$f(x)_{\min}=f(1)=2$,所以$(\frac{1}{x^2 - x + 2})_{\max}=\frac{1}{2}$,故$a\leq\frac{1}{2}$.故答案为$(-\infty,\frac{1}{2}]$.