《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. $\boldsymbol{★}$(2025·陕西咸阳高一期末)为了得到余弦函数$ y = \cos x $的图象，只需把函数$ y = \cos \frac{x}{4} $图象上所有的点 (B)
A.横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短为原来的$\frac{1}{4}$，纵坐标不变
C.纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短为原来的$\frac{1}{4}$，横坐标不变

答案： 1.B 解析:把函数$y=\cos\frac{x}{4}$图象上所有的点横坐标缩短为原来的$\frac{1}{4}$，纵坐标不变得函数$y=\cos x$的图象.故选B.

2. $\boldsymbol{★★}$(2025·湖北武汉高一期末)要得到函数$ y = \sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) $的图象，只需将$ y = \sin 2x $的图象 (D)


A. 向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度
B. 向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度
C. 向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度
D. 向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度

答案： 2.D 解析:$y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left[2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right]$，所以要得到函数$y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$的图象，只需将$y=\sin2x$的图象向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度.故选D.

3. $\boldsymbol{★★}$(2025·江苏南京师大附中高一期末)将函数$ f(x) = \sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) $的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，所得图象的解析式为 (B)
A.$ y = -\sin 4x $
B.$ y = \sin x $
C.$ y = \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right) $
D.$ y = \sin \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) $

答案： 3.B 解析:将函数$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$，再将得到的图象向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，得$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=\sin x$.故选B.

4. $\boldsymbol{★★}$ 将函数$ f(x) = \tan x $图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的$\frac{1}{\omega}(\omega ＞ 0)$，得到函数$ y = g(x) $的图象，若$ g\left(\frac{\pi}{6}\right) = g\left(\frac{\pi}{3}\right) $，则正数$\omega$的最小值为\boldsymbol{6}。

答案： 4.6 解析:由题意，得$g(x)=\tan\omega x,\omega＞0$，设函数$g(x)$的最小正周期为$T$，因为$g\left(\frac{\pi}{6}\right)=g\left(\frac{\pi}{3}\right)$，所以$\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=k· T,k\in\mathbf{N}^*$.又$T=\frac{\pi}{\omega}$，解得$\omega=6k,k\in\mathbf{N}^*$，所以正数$\omega$的最小值为6.

5. $\boldsymbol{★}$(2025·浙江宁波高一期末)已知函数$ f(x) = A\sin(\omega x + \varphi)(A ＞ 0, \omega ＞ 0, 0 ＜ \varphi ＜ \pi) $的部分图象如下图所示，则 (A)

A.$ f(x) = 2\sin \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) $
B.$ f(x) = 2\sin \left(\frac{1}{2}x + \frac{2\pi}{3}\right) $
C.$ f(x) = 2\sin \left(2x + \frac{5\pi}{6}\right) $
D.$ f(x) = 2\sin \left(\frac{1}{2}x + \frac{5\pi}{6}\right) $

答案： 5.A 解析:由题图可得$A=2,\frac{T}{2}=\frac{5\pi}{12}-\left(-\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\pi}{2}\Rightarrow\frac{2\pi}{\omega}=\pi\Rightarrow\omega=2$，所以$f(x)=2\sin(2x+\varphi)$，又由题图得，$2\sin\left[2\left(-\frac{\pi}{12}\right)+\varphi\right]=2\sin\left(-\frac{\pi}{6}+\varphi\right)=2$，所以$-\frac{\pi}{6}+\varphi=2k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，解得$\varphi=2k\pi+\frac{2\pi}{3},k\in\mathbf{Z}$.又$0＜\varphi＜\pi$，所以$\varphi=\frac{2\pi}{3}$，所以$f(x)=2\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$.故选A.
方法总结
根据图象求$y=A\sin(\omega x+\varphi)+b$的解析式的一般步骤:
①根据最值确定$A,b$，$\begin{cases}y_{\max}=|A|+b,\\y_{\min}=-|A|+b;\end{cases}$
②根据最值点、对称轴、对称中心等信息求出最小正周期$T$，根据$T=\frac{2\pi}{|\omega|}$确定$\omega$;
③根据特殊值确定$\varphi$.

6. $\boldsymbol{★★}$（2025·山东济南高一月考）函数$ f(x) = A\sin(\omega x + \varphi)(A ＞ 0, \omega ＞ 0) $的部分图象如图所示，则$ A + \omega $的值为_。

答案： 6.$2+\sqrt{2}$ 解析:显然$A=\sqrt{2}$，设函数的周期为$T$，则$\frac{T}{4}=\frac{7\pi}{12}-\frac{\pi}{3}$，所以$T=\pi$.又$\frac{2\pi}{\omega}=\pi$，所以$\omega=2$，则$A+\omega=2+\sqrt{2}$.故答案为$2+\sqrt{2}$.

7. $\boldsymbol{★}$(2025·吉林长春高一期末)将函数$ f(x) = \cos(2x + \varphi)(\varphi ＞ 0) $图象向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度得到奇函数，则$\varphi$的最小值为 (B)
A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{5\pi}{6}$
C.$\frac{2\pi}{3}$
D.$\frac{\pi}{3}$

答案： 7.B 解析:根据题意可得，$g(x)=\cos\left[2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\varphi\right]=\cos\left(2x+\varphi-\frac{\pi}{3}\right).\because g(x)$为奇函数，$\therefore\varphi-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in\mathbf{Z})$，$\therefore\varphi=\frac{5\pi}{6}+k\pi(k\in\mathbf{Z}).\because\varphi＞0$，$\therefore k=0,\varphi_{\min}=\frac{5\pi}{6}$.故选B.