《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. (多选)(2025·河北张家口高一期中)下列函数中，既是偶函数又在区间$(0, +\infty)$上单调递减的是(AD)

A.$y = \frac{1}{|x|}$
B.$y = x^2 + 2$
C.$y = x - \frac{1}{x}$
D.$y = 2 - |x|$

答案： 1. AD 解析：A 选项，$f(x)=\frac{1}{|x|}$定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，且$f(-x)=\frac{1}{|-x|}=\frac{1}{|x|}=f(x)$，故$y=\frac{1}{|x|}$为偶函数，且$x＞0$时，$y=\frac{1}{x}$，满足在$(0,+\infty)$上单调递减，A 正确；B 选项，$y=x^{2}+2$在$(0,+\infty)$上单调递增，B 错误；C 选项，$g(x)=x-\frac{1}{x}$定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，且$g(-x)=-x+\frac{1}{x}=-g(x)$，故$y=x-\frac{1}{x}$是奇函数，C 错误；D 选项，函数$h(x)=2-|x|$定义域为$\mathbf{R}$，且$h(-x)=2-|-x|=2-|x|=h(x)$，故$y=2-|x|$为偶函数，且$x＞0$时，$y=2-x$，其在$(0,+\infty)$上单调递减，D 正确。故选 AD。

2. (2025·浙江嘉兴高一月考)若函数$y = f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，则$f(-1) + f(0) + f(1) =$(A)

A.$0$
B.$1$
C.$-2$
D.$-3$

答案： 2. A 解析：因为函数$y = f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(0)=0$，$f(-1)+f(1)=0$，所以$f(-1)+f(0)+f(1)=0$。故选 A。

3. 定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$，若$g(x) = f(|x|) - |f(x)|$，有下列两个结论：①若$f(x)$是偶函数，则$g(x)$是奇函数；②若$f(x)$是偶函数，则$g(x)$是偶函数，则(D)

A.①②均正确
B.①②均错误
C.①正确②错误
D.①错误②正确

答案： 3. D 解析：对于①，$f(x)$是偶函数时，有$f(-x)=f(x)$，则$g(-x)=f(|-x|)-|f(-x)|=f(|x|)-|f(x)|=g(x)$，$g(x)$是偶函数，故①错误，②正确。故选 D。

4. (2025·四川遂宁高一期中)已知定义域为$[-4, 4]$的奇函数$f(x)$在$(0, 4]$上的图象如图所示，则下列说法错误的是(C)


A.$f(-4) = -1$
B.$f(0) = 0$
C.$f(x)$在定义域上不存在最小值
D.$f(x)$在$[-4, 4]$的最大值与最小值之和为$0$

答案： 4. C 解析：对于 A，由$f(x)$为定义域为$[-4,4]$的奇函数，则图象关于点$(0,0)$对称，$f(x)+f(-x)=0$，由题图知$f(4)=1$，则$f(-4)=-1$，故 A 正确；对于 B，$0\in[-4,4]$，$f(x)$为奇函数，则$f(0)=0$，故 B 正确；对于 C，由题图知$f(x)$在$(0,4]$上的最大值为$f(2)=2$，则$f(x)$在$[-4,0)$上的最小值为$f(-2)=-2$，因此可得$f(x)$在定义域$[-4,4]$上存在最小值为$-2$，故 C 错误；对于 D，由$f(x)$在$[-4,4]$上的最大值为 2，最小值为$-2$，则最大值与最小值之和为 0，故 D 正确。故选 C。

5. (2025·山东淄博高一期中)若函数$y = f(x)$为偶函数，且在$(0, +\infty)$上是减函数，又$f(3) = 0$，则不等式$\frac{f(x) + f(-x)}{2x} ＜ 0$的解集为(D)

A.$(-3, 3)$
B.$(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$
C.$(-\infty, -3) \cup (0, 3)$
D.$(-3, 0) \cup (3, +\infty)$

答案： 5. D 解析：$\because f(x)$为偶函数，$\therefore f(-x)=f(x)$，$\therefore\frac{f(x)+f(-x)}{2x}＜0$可转化为$\frac{f(x)}{x}＜0$，而$f(x)$在$(0,+\infty)$上是减函数，且$f(3)=0$，故当$x＞3$时，$f(x)＜0$，当$-3＜x＜0$时，$f(x)＞0$，故$\frac{f(x)}{x}＜0$的解集为$(-3,0)\cup(3,+\infty)$。故选 D。

6. 已知函数$f(x)$是奇函数，$g(x)$是偶函数，且$f(x) + g(x) = 3x + \frac{2}{x - 2}$，则$f(x) =$(D)

A.$6x - \frac{4x}{x^2 - 4}$
B.$6x + \frac{4x}{x^2 - 4}$
C.$3x - \frac{3x}{x^2 - 4}$
D.$3x + \frac{2x}{x^2 - 4}$

答案： 6. D 解析：因为$f(x)$是奇函数，$g(x)$是偶函数，所以$f(-x)= -f(x)$，$g(-x)=g(x)$，所以$\begin{cases}f(x)+g(x)=3x+\frac{2}{x - 2}\\-f(x)+g(x)=-3x - \frac{2}{x + 2}\end{cases}$，即$\begin{cases}f(x)+g(x)=3x+\frac{2}{x - 2}\\f(-x)+g(-x)=-3x - \frac{2}{-x - 2}\end{cases}$，因此$f(x)=3x+\frac{2x}{x^{2}-4}$。故选 D。

7. (多选)(2025·山东枣庄高一期中)已知函数$y = f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，当$x \leq 0$时，$f(x) = x(x + 1)$，则下列说法正确的是(BC)

A.函数$f(x)$有$3$个单调区间
B.当$x ＞ 0$时，$f(x) = x(x - 1)$
C.函数$f(x)$有最小值$-\frac{1}{4}$
D.不等式$f(x) ＜ 0$的解集是$(-1, 1)$

答案：
7. BC 解析：当$x＞0$时，$-x＜0$，因为$x\leq0$时，$f(x)=x(x + 1)$，所以$f(-x)=-x(-x + 1)$。又因为$y = f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，所以$x＞0$时，$f(x)=-x(-x + 1)=x^{2}-x$，即$f(x)=\begin{cases}x^{2}-x(x＞0)\\x^{2}+x(x\leq0)\end{cases}$，如图所示：

对 A，由图知，函数$f(x)$有 4 个单调区间，故 A 错误；对 B，由上述分析知，当$x＞0$时，$f(x)=x^{2}-x$，故 B 正确；对 C，由图知，当$x=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}$或$x=\frac{-1}{2×1}=\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$取得最小值$f(x)_{\min}=f(-\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$，故 C 正确；对 D，由图知，不等式$f(x)＜0$的解集是$(-1,0)\cup(0,1)$，故 D 错误。故选 BC。

8. (2025·江苏苏州中学高一期中)已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，当$x ＞ 0$时，$f(x) = \sqrt{x} + 2$，则不等式$f(x) ＞ x$的解集为(A)

A.$(-\infty, -4) \cup (0, 4)$
B.$(-4, 0) \cup (4, +\infty)$
C.$(-4, 0) \cup (0, 4)$
D.$(-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$

答案： 8. A 解析：函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，由当$x＞0$时，$f(x)=\sqrt{x}+2$，得当$x＜0$时，$f(x)=-f(-x)=-(\sqrt{-x}+2)=-\sqrt{-x}-2$，$f(0)=0$。当$x＞0$时，$f(x)＞x\Leftrightarrow\sqrt{x}+2＞x\Leftrightarrow(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)＜0$，解得$0＜x＜4$；当$x＜0$时，$f(x)＞x\Leftrightarrow-\sqrt{-x}-2＞x\Leftrightarrow(\sqrt{-x}-2)(\sqrt{-x}+1)＞0$，解得$x＜-4$；当$x=0$时，$f(x)＞x$无解，所以不等式$f(x)＞x$的解集为$(-\infty,-4)\cup(0,4)$。故选 A。