《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

1. * 已知$ m^{10}=2 $，则$ m $等于 (D)

A.$ \sqrt[10]{2} $
B.$ -\sqrt[10]{2} $
C.$ \sqrt{2^{10}} $
D.$ \pm\sqrt[10]{2} $

答案： 1.D 解析:$\because m^{10}=2$,$\therefore m=\pm \sqrt[10]{2}$.故选 D.

2. *(2025·江苏连云港高一月考)下列各式正确的是 (D)

A.$ \sqrt[3]{-8}=\sqrt[6]{(-8)^2} $
B.$ \sqrt{(3-\pi)^2}=3-\pi $
C.$ \sqrt[n]{a^n}=|a|(n＞1,n\in\mathbf{N}^*) $
D.$ (\sqrt[n]{a})^n=a(n＞1,n\in\mathbf{N}^*) $

答案： 2.D 解析:$\sqrt[3]{-8} = -2$,$\sqrt{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2$,故 A 错误；$\sqrt{(3 - \pi)^2} = |3 - \pi| = \pi - 3$,故 B 错误；$\because n＞1$,$n \in \mathbf{N}^*$,$\therefore$当$n$为奇数时,$\sqrt[n]{a^n} = a$；当$n$为偶数时,$\sqrt[n]{a^n} = |a|$,故 C 错误；$(\sqrt[n]{a})^n = a(n＞1$,$n \in \mathbf{N}^*)$成立,故 D 正确.故选 D.

3. 当$ x＜0 $时，化简：$ 3\sqrt[5]{x^5}+\sqrt[4]{x^4}+|x|= $ $x$.

答案： 3.$x$ 解析:由$x＜0$可得$3\sqrt[3]{x^5}+\sqrt[4]{x^4}+|x| = 3x+(-x)+(-x) = x$.故答案为$x$.

4. *(多选)(2025·陕西汉中高一期中)在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是 (ABD)

A.$ (-x)^{0.5}=-\sqrt{x}(x\neq0) $
B.$ \sqrt[6]{y^2}=y^{\frac{1}{3}} $
C.$ \left( \frac{x}{y} \right)^{-\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{\left( \frac{y}{x} \right)^3}(xy\neq0) $
D.$ x^{-\frac{1}{3}}=-\sqrt[3]{x} $

答案： 4.ABD 解析:对于 A,$(-x)^{0.5} = -\sqrt{x}(x \neq 0)$,左边$x＜0$,右边$x＞$ B 错误;对于 C,由分式指数幂可得$xy＞0$,则$(\frac{x}{y})^{-\frac{3}{4}} = (\frac{y}{x})^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(\frac{y}{x})^3}$,故 C 正确;对于 D,$x^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$,故 D 错误.故选 ABD. 易错提醒 偶次根号具有双重非负性,即被开方数与开方结果均为非负数.

5. (2025·福建泉州高一期中)若$ a＜0 $，$ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}} $，则$ m,n $不能满足的条件为 (A)

A.$ m $为奇数，$ n $为偶数
B.$ m $为偶数，$ n $为奇数
C.$ m,n $均为奇数
D.$ m,n $均为偶数

答案： 5.A 解析:对于 A,因为$a＜0$,当$m$为奇数,$n$为偶数时,$a^m＜0$,此时$\sqrt[n]{a^m}$无意义,不合题意,故 A 错误;对于 B,因为$a＜0$,当$m$为偶数,$n$为奇数时,$a^m＞0$,此时$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$,符合题意,故 B 正确;对于 C,因为$a＜0$,当$m$为奇数,$n$为奇数时,$a^m＞0$,此时$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$,符合题意,故 D 正确.故选 A.

6. 若$ (1-2x)^{-\frac{3}{4}} $有意义，则实数$ x $的取值范围为 $(-\infty,\frac{1}{2})$.

答案： 6.$(-\infty,\frac{1}{2})$ 解析:$(1 - 2x)^{\frac{3}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{(1 - 2x)^3}}$,要使得其有意义,则满足$1 - 2x＞0$,解得$x＜\frac{1}{2}$.故答案为$(-\infty,\frac{1}{2})$.

7. *(多选)(2025·安徽合肥六中高一期中)设$ a＞0 $，则下列运算正确的是 (ACD)

A.$ a^{\frac{2}{3}}a^{\frac{1}{3}}=a $
B.$ \frac{a}{a^{\frac{1}{3}}}=a^{\frac{1}{3}} $
C.$ (a^6)^{\frac{2}{3}}=a^4 $
D.$ \sqrt{a\sqrt{a^3}}=a^{\frac{5}{4}} $

答案： 7.ACD 解析:A.$a^{\frac{2}{3}}a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} = a$,故正确;B.$\frac{a}{a^3} = a^{1 - 3} = a^{-2}$,故错误;C.$(a^6)^{\frac{2}{3}} = a^{6 × \frac{2}{3}} = a^4$,故正确;D.$\sqrt{a}\sqrt[3]{a^2} = \sqrt{a · a^{\frac{2}{3}}} = \sqrt{a^{\frac{5}{3}}} = a^{\frac{5}{3} × \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{6}} = a^4$,故正确.故选 ACD.

8. *(2025·江苏南通高一月考)$ \sqrt{25^3}×\left( \frac{25}{4} \right)^{-\frac{3}{2}}= $ (B)

A.4
B.8
C.$ \frac{125}{8} $
D.$ \frac{8}{125} $

答案： 8.B 解析:$\sqrt{25^3} × (\frac{25}{4})^{-\frac{3}{2}} = 5^3 × 5^{-3} ÷ 2^{-3} = 5^0 × 2^3 = 8$.故选 B.

9. (2025·河北石家庄高一期中)若$ 10^x=3 $，$ 10^y=4 $，则$ 10^{2x-y}= $ $\frac{9}{4}$.

答案： 9.$\frac{9}{4}$ 解析:$\because 10^x = 3$,$10^y = 4$,$\therefore 10^{2x - y} = 10^{2x} ÷ 10^y = (10^x)^2 ÷ 10^y = 3^2 ÷ 4 = \frac{9}{4}$.故答案为$\frac{9}{4}$.

10. （2025·广东江门高一期中）化简或求值：
(1) $ 4^{-\frac{3}{2}}+\left( \frac{9}{4} \right)^{\frac{1}{2}}-(\sqrt{3}-1)^0+\sqrt[3]{(-3)^3} $；
(2) $ \left( 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}} \right)\left( a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}} \right)÷\left( \frac{1}{3}a^{\frac{1}{6}}b^{-\frac{5}{6}} \right) $.

答案： 10.解:
(1)原式=$(2^2)^{-\frac{3}{2}} + [(\frac{3}{2})^2]^{\frac{1}{2}} - 1 - 3 = 2^{-3} + \frac{3}{2} - 1 - 3 = \frac{1}{8} + \frac{3}{2} - 4 = -\frac{19}{8}$
(2)原式=$6a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}} = 6a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{5}{3}}$.