《2025年经纶学典学霸黑白题高中数学必修第一册苏教版》

10. (2025·江苏徐州高一月考)已知$a,b\in\mathbf{R}^{+}$,且$a + b = 1$,那么下列不等式中一定成立的是 (ABC)

A.$ab\leqslant\frac{1}{4}$
B.$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geqslant9$
C.$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant\sqrt{2}$
D.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\leqslant4$

答案： 10.ABC 解析：因为$a + b = 1$，所以$a + b = 1 \geqslant 2\sqrt{ab}$，即$ab \leqslant \frac{1}{4}$，当且仅当$a = b = \frac{1}{2}$时，等号成立，故A正确；$(1 + \frac{1}{a})(1 + \frac{1}{b}) = 1 + \frac{1}{ab} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 + \frac{1}{ab} + \frac{a + b}{ab} = 1 + \frac{2}{ab} \geqslant 9$，当且仅当$a = b = \frac{1}{2}$时，等号成立，故B正确；$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2} = 1 + 2\sqrt{ab} \leqslant 2$，即$\sqrt{a} + \sqrt{b} \leqslant \sqrt{2}$，当且仅当$a = b = \frac{1}{2}$时，等号成立，故C正确；$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geqslant 2\sqrt{\frac{1}{ab}} \geqslant 4$，故D错误.故选ABC.

11. (2025·江苏南京高一月考)关于$x$的不等式$ax^{2}+bx + c\geqslant0$的解集为$\{ x|x\leqslant - 1$或$x\geqslant4\}$,下列说法正确的是 (ACD)

A.$a＞0$
B.不等式$cx^{2}-bx + a＜0$的解集为$\{ x|-\frac{1}{4}＜x＜1\}$
C.$\frac{3}{b}+c$的最大值为$-4$
D.关于$x$的不等式$x^{2}+bx + c＜0$解集中仅有两个整数,则$a$的取值范围是$(\frac{1}{7},\frac{2}{5}]$

答案： 11.ACD 解析：不等式$ax^{2} + bx + c \geqslant 0$的解集为$\{ x \mid x \leqslant -1$或$x \geqslant 4\}$，故$x = -1$和$x = 4$是方程$ax^{2} + bx + c = 0$的两个根，所以$\begin{cases}a ＞ 0,\\-\frac{b}{a} = -1 + 4,\frac{c}{a} = -1 × 4,\end{cases}$解得$b = -3a$，$c = -4a$，故A正确；对于B，$cx^{2} - bx + a ＜ 0$可变为$-4ax^{2} + 3ax + a ＜ 0 \Rightarrow 4x^{2} - 3x - 1 ＞ 0$，解得$x ＞ 1$或$x ＜ -\frac{1}{4}$，故B错误；对于C，$\frac{3}{-3a} + (-4a) = -\frac{1}{-a} - 4a = -(\frac{1}{a} + 4a) \leqslant -4$，当且仅当$\frac{1}{a} = 4a$，即$a = \frac{1}{2}$时，等号成立，所以$\frac{3}{b} + c$的最大值为$-4$，C正确；对于D，$x^{2} + bx + c ＜ 0$的不等式可变为$x^{2} - 3ax - 4a ＜ 0$，记二次函数$y = x^{2} - 3ax - 4a$，由于$x = 0$时，$y = -4a ＜ 0$，故0是$x^{2} + bx + c ＜ 0$的一个整数解，对称轴直线$x = \frac{3a}{2} ＞ 0$，由于不等式$x^{2} + bx + c ＜ 0$解集中仅有两个整数，则$x^{2} + bx + c ＜ 0$的另一个整数解是1，则当$x = 1$时，$y = 1 - 7a ＜ 0$，同时还要满足当$x = -1$和$x = 2$时，$y = x^{2} - 3ax - 4a \geqslant 0$，即$\begin{cases}4 - 10a \geqslant 0,\\1 - a \geqslant 0,\end{cases}$解得$\frac{1}{7} ＜ a \leqslant \frac{2}{5}$，故D正确.故选ACD.

12. (2025·江苏南通高一月考)若命题“$\exists x\in\mathbf{R}$,使$x^{2}+(a - 1)x+\frac{1}{4}＜0$”是真命题,则实数$a$的取值范围是$$$(-\infty,0) \cup (2,+\infty)$$$.

答案： 12.$(-\infty,0) \cup (2,+\infty)$ 解析：由题意得$x^{2} + (a - 1)x + \frac{1}{4} = 0$有两个不相等的实数根，$\therefore \Delta = (a - 1)^{2} - 4 × \frac{1}{4} ＞ 0$，即$a^{2} - 2a ＞ 0$，$\therefore a ＜ 0$或$a ＞ 2$.故答案为$(-\infty,0) \cup (2,+\infty)$.

13. (2025·江苏徐州高一月考)已知实数$x,y$满足$0\leqslant2x + y\leqslant3$,$-2\leqslant x - y\leqslant1$,则$x$的取值范围是$$$[\frac{2}{3},\frac{4}{3}]$$$,$4x + 5y$的取值范围是$$$[-2,13]$$$.

答案： 13.$[\frac{2}{3},\frac{4}{3}]$ $[-2,13]$ 解析：因为$0 \leqslant 2x + y \leqslant 3$，$-2 \leqslant x - y \leqslant 1$，所以$-2 \leqslant 3x \leqslant 4$，即$-\frac{2}{3} \leqslant x \leqslant \frac{4}{3}$.设$4x + 5y = m(2x + y) + n(x - y) = (2m + n)x + (m - n)y$，故$\begin{cases}2m + n = 4,\\m - n = 5,\end{cases}$所以$\begin{cases}m = 3,\\n = -2,\end{cases}$故$4x + 5y = 3(2x + y) - 2(x - y)$.又$0 \leqslant 3(2x + y) \leqslant 9$，$-2 \leqslant -2(x - y) \leqslant 4$，所以$-2 \leqslant 4x + 5y \leqslant 13$.故答案为$[\frac{2}{3},\frac{4}{3}]$，$[-2,13]$.

14. (2025·江苏苏州高一月考)已知$a,b$为正实数,且满足$\frac{1}{a + 2b}+\frac{1}{a + 3}=\frac{1}{2}$,则$a + b$的最小值为$$$\frac{5}{2}$$$.

答案： 14.$\frac{5}{2}$ 解析：$3 + 2(a + b) = 3 + a + a + 2b$，$\because \frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{a + 3} = \frac{1}{2}$，且a，b为正实数，$\therefore 3 + a + a + 2b = 2(3 + a + a + 2b)(\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{a + 3}) = 2(1 + 1 + \frac{a + 3}{a + 2b} + \frac{a + 2b}{a + 3}) \geqslant 8$，当且仅当$\frac{a + 3}{a + 2b} = \frac{a + 2b}{a + 3}$，即$a = 1$，$b = \frac{3}{2}$时，取等号，$\therefore 3 + 2(a + b) = 3 + a + a + 2b \geqslant 8$，则$a + b \geqslant \frac{5}{2}$.故答案为$\frac{5}{2}$.

15. (13分)(2025·江苏宿迁高一月考)设$y = mx^{2}+(1 - m)x + m - 2$.
(1)若$m = 2$,求不等式$y＞0$的解集;
(2)解关于$x$的不等式$mx^{2}+(1 - m)x + m - 2＜m - 1(m\in\mathbf{R})$.

答案： 15.解：
(1)若$m = 2$，则$y = mx^{2} + (1 - m)x + m - 2 = 2x^{2} - x = x(2x - 1) ＞ 0$，解得$x ＜ 0$或$x ＞ \frac{1}{2}$，所以不等式$y ＞ 0$的解集为$(-\infty,0) \cup (\frac{1}{2},+\infty)$.
(2)不等式$mx^{2} + (1 - m)x + m - 2 ＜ m - 1$，即$mx^{2} + (1 - m)x - 1 = (mx + 1) · (x - 1) ＜ 0$，当$m = 0$时，$x - 1 ＜ 0$，解得$x ＜ 1$，不等式的解集为$(-\infty,1)$；当$m ＞ 0$时，不等式的解集为$(-\frac{1}{m},1)$；当$-1 ＜ m ＜ 0$时，不等式的解集为$(-\infty,1) \cup (-\frac{1}{m},+\infty)$；当$m = -1$时，不等式的解集为$\{ x \mid x \neq 1\}$；当$m ＜ -1$时，不等式的解集为$(-\infty,-\frac{1}{m}) \cup (1,+\infty)$.