《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

3. 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空.
(1) $ (2^3)^2 = 2^3 × 2^3 = 2^{( )} $；
(2) $ (3^2)^3 = ( ) × ( ) × ( ) = 3^{( )} $；
(3) $ (a^3)^5 = a^3 × ( ) × ( ) × ( ) × ( ) = a^{( )} $.
观察计算的结果，你能发现什么规律？
证明猜想：
$ (a^m)^n = $ = .
幂的乘法法则：幂的乘方，底数，指数.
字母表示：$ (a^m)^n = $ ($ m $，$ n $ 都是正整数).

答案：
(1) 6；
(2) $3^2$，$3^2$，$3^2$，6；
(3) $a^3$，$a^3$，$a^3$，$a^3$，15；
$\underbrace{a^m × a^m × ·s × a^m}_{n个a^m}$，$a^{mn}$；
不变，相乘，$a^{mn}$

4. 多重乘方也具有这一性质，用字母表示为 $ [(a^m)^n]^p = $ ($ m $，$ n $，$ p $ 都是正整数).

答案： $a^{mnp}$

【例1】填空：
(1) $ (10^3)^5 = $；
(2) $ (a^4)^4 = $；
(3) $ (a^m)^2 = $；
(4) $ - (x^4)^3 = $.

答案：
(1) $10^{15}$
(2) $a^{16}$
(3) $a^{2m}$
(4) $-x^{12}$

变式：$ (-a^2)^5 $ 和 $ (-a^5)^2 $ 的结果相同吗？为什么？
总结：$ (-a^m)^n = \begin{cases} a^{mn}, & n 为偶数 \\ -a^{mn}, & n 为奇数 \end{cases} $.

答案： 解：结果不相同，理由如下：
计算$(-a^2)^5$：
根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，
可得$(-a^2)^5=(-1)^5×(a^2)^5=-1× a^{2×5}=-a^{10}$。
计算$(-a^5)^2$：
根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，
可得$(-a^5)^2=(-1)^2×(a^5)^2=1× a^{5×2}=a^{10}$。
因为$-a^{10}\neq a^{10}$，
所以$(-a^2)^5$和$(-a^5)^2$的结果不相同。

【例2】填空：
(1) $ [(-m)^3]^4 = $；
(2) $ (a^{3 - m})^2 = $；
(3) $ (a^2)^3 · a^5 = $；
(4) $ [(x + y)^2]^3 = $.
同底数幂乘法和幂的乘方的区别与联系：

答案：
(1) $ [(-m)^3]^4 = (-m)^{3 × 4} = (-m)^{12} = m^{12} $
(2) $ (a^{3 - m})^2 = a^{2(3 - m)} = a^{6 - 2m} $
(3) $ (a^2)^3 · a^5 = a^{2 × 3} · a^5 = a^6 · a^5 = a^{6 + 5} = a^{11} $
(4) $ [(x + y)^2]^3 = (x + y)^{2 × 3} = (x + y)^6 $
故答案为：
(1)$m^{12}$，
(2)$a^{6 - 2m}$，
(3)$a^{11}$，
(4)$(x + y)^6$。

【例3】幂的乘方的逆运用：$ a^{mn} = (a^m)^n = (a^n)^m $ ($ m $，$ n $ 均为正整数).
已知 $ 10^m = 3 $，$ 10^n = 2 $，求下列各式的值.
(1) $ 10^{3m} $
(2) $ 10^{2n} $
(3) $ 10^{3m + 2n} $

答案：
(1)
已知 $10^m = 3$，
根据幂的乘方运算法则，有：
$10^{3m} = (10^m)^3$
代入 $10^m = 3$，得：
$10^{3m} = 3^3 = 27$
(2)
已知 $10^n = 2$，
根据幂的乘方运算法则，有：
$10^{2n} = (10^n)^2$
代入 $10^n = 2$，得：
$10^{2n} = 2^2 = 4$
(3)
根据同底数幂的乘法运算法则，有：
$10^{3m + 2n} = 10^{3m} × 10^{2n}$
代入 $10^{3m} = 27$ 和 $10^{2n} = 4$，得：
$10^{3m + 2n} = 27 × 4 = 108$

变式1：已知 $ x^{2m} = 5 $，求 $ \frac{1}{5}x^{6m} - 5 $ 的值.

答案： 答：已知 $x^{2m} = 5$，
首先，我们要求 $x^{6m}$ 的值，根据幂的乘方运算法则，有：
$x^{6m} = (x^{2m})^3$，
将 $x^{2m} = 5$ 代入上式，得：
$x^{6m} = 5^3 = 125$，
然后，将 $x^{6m} = 125$ 代入 $\frac{1}{5}x^{6m} - 5$，得：
$\frac{1}{5}x^{6m} - 5 = \frac{1}{5} × 125 - 5 = 25 - 5 = 20$，
所以，$\frac{1}{5}x^{6m} - 5$ 的值为 $20$。

变式2：已知 $ 2x + 5y = 3 $，求 $ 4^x · 32^y $ 的值.

答案： 因为 $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$，$32^y = (2^5)^y = 2^{5y}$，
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以$4^x · 32^y = 2^{2x} · 2^{5y} = 2^{2x + 5y}$，
已知 $2x + 5y = 3$，将其代入$2^{2x + 5y}$可得：$2^{2x + 5y}=2^3 = 8$，
综上，$4^x · 32^y$ 的值为$8$。

1. $ (x^4)^2 $ 等于 (B).

A.$ x^6 $
B.$ x^8 $
C.$ x^{16} $
D.$ 2x^4 $

答案： 1.B

2. 下列式子的括号内，应填入 $ b^4 $ 的是 (C).

A.$ b^{12} = ($$)^8 $
B.$ b^{12} = ($$)^6 $
C.$ b^{12} = ($b^4$)^3 $
D.$ b^{12} = ($$)^2 $

答案： 2.C