《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

1. 动手操作：
(1) 任意画一个三角形，用尺子量出 3 条边的长度，计算一下任意两边之和与第三边的关系.
(2) 再任意画一个三角形，用尺子量出 3 条边的长度，计算一下任意两边之差与第三边的关系.
总结：三角形任意两边之和第三边，三角形任意两边之差第三边.
注意：三角形两边之和大于第三边指的是三角形任意两边之和大于第三边，即 $a + b ＞ c$，$b + c ＞ a$，$c + a ＞ b$ 这 3 个不等式同时成立.

答案：
(1)画一个三角形$\triangle ABC$，假设测得的三边长度分别为$a = 3cm$，$b = 4cm$，$c = 5cm$。
$a + b=3 + 4 = 7\gt5$，即$a + b\gt c$；
$b + c=4 + 5 = 9\gt3$，即$b + c\gt a$；
$c + a=5 + 3 = 8\gt4$，即$c + a\gt b$。
(2)再画一个三角形$\triangle A'B'C'$，假设测得的三边长度分别为$a' = 4cm$，$b' = 5cm$，$c' = 6cm$。
$\vert a'-b'\vert=\vert4 - 5\vert = 1\lt6$，即$\vert a'-b'\vert\lt c'$；
$\vert b'-c'\vert=\vert5 - 6\vert = 1\lt4$，即$\vert b'-c'\vert\lt a'$；
$\vert c'-a'\vert=\vert6 - 4\vert = 2\lt5$，即$\vert c'-a'\vert\lt b'$。
总结：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。
故答案依次为：大于；小于。

2. 教材分析：
(1) 假设一只小虫从点 B 出发，沿三角形的边爬到点 C，有条路线，路线最近.

(2) 教材中 $AB + AC ＞ BC$ 的依据是.
(3) 由于 $AB + AC ＞ BC$，根据得 $AB ＞ BC - AC$，即三角形两边之差小于第三边.

答案：
(1) 2；直接沿BC边
(2) 两点之间，线段最短
(3) 不等式的性质

3. 学以致用：利用三角形三边关系，可以确定在已知两边的三角形中第三边的取值范围，以及判断任意 3 条线段能否构成三角形.
例如：下列长度的 3 条线段能否构成三角形？为什么？
(1) 3，4，8；(2) 5，6，11；(3) 5，6，10.
练习：已知一个三角形两边的长分别为 3 和 5，则第三边的长 x 的取值范围是.

答案： 2 ＜ x ＜ 8

【例】用一根长为 18 厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.
(1) 如果腰长是底边的 2 倍，那么各边的长是多少？
(2) 能围成有一边的长为 4 厘米的等腰三角形吗？为什么？

答案： $(1)$ 求各边的长
解：设底边长为$x$厘米，因为腰长是底边的$2$倍，则腰长为$2x$厘米。
根据等腰三角形周长公式$C = 底边长 + 腰长×2$（$C$表示周长），已知周长$C = 18$厘米，可列方程：
$x + 2x+2x=18$，
即$5x = 18$，
解得$x=\frac{18}{5}=3.6$。
则腰长$2x = 2×3.6 = 7.2$厘米。
所以，三边的长分别是$3.6$厘米、$7.2$厘米、$7.2$厘米。
$(2)$ 判断能否围成有一边长为$4$厘米的等腰三角形
解：分两种情况讨论：
情况一：当$4$厘米为底边时
设腰长为$y$厘米，根据周长公式可得$4 + 2y=18$，
移项可得$2y=18 - 4$，
即$2y = 14$，
解得$y = 7$。
此时三边长分别为$4$厘米、$7$厘米、$7$厘米。
因为$4 + 7＞7$，$7 + 7＞4$（三角形任意两边之和大于第三边），所以能构成三角形。
情况二：当$4$厘米为腰时
则底边长为$z$厘米，根据周长公式可得$z+4 + 4=18$，
移项可得$z=18 - 4 - 4$，
解得$z = 10$。
此时三边长分别为$4$厘米、$4$厘米、$10$厘米。
因为$4 + 4＜10$（不满足三角形任意两边之和大于第三边），所以不能构成三角形。
综上，能围成等腰三角形，此时三边长分别为$4$厘米、$7$厘米、$7$厘米。

变式：如果一个等腰三角形的两条边的长分别为 4 和 7，那么这个三角形的周长为多少？

答案： 答题卡：
当腰长为$4$时，三角形的三边分别为$4$、$4$、$7$。
根据三角形的三边关系，$4 + 4 \gt 7$，$4 + 7 \gt 4$，$7 + 4 \gt 4$，满足条件。
此时周长为$4 + 4 + 7 = 15$。
当腰长为$7$时，三角形的三边分别为$7$、$7$、$4$。
根据三角形的三边关系，$7 + 7 \gt 4$，$7 + 4 \gt 7$，$4 + 7 \gt 7$，满足条件。
此时周长为$7 + 7 + 4 = 18$。
综上，这个等腰三角形的周长为$15$或$18$。

1. 下列长度的 3 条线段中，能组成三角形的是().

A.4，5，9
B.8，8，15
C.5，5，10
D.6，7，14

答案： 1.B

2. 若以 2，7，x 为长度的 3 条线段能组成一个三角形，则 x 的值可以是().

A.4
B.5
C.6
D.9

答案： 2.C

3. 已知三角形的两条边的长度分别为 3 cm 和 5 cm，如果这个三角形的第 3 条边的长度为偶数，那么第 3 条边的长度为().

A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.8 cm

答案： 3.C

4. 如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了().


A.节省材料，节约成本
B.保持对称
C.利用三角形的稳定性
D.美观漂亮

答案： 4.C