《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

3. 怎样确定多项式的公因式？
(1) 确定系数：取各项系数的；
(2) 确定字母：确定多项式中各项的字母；
(3) 确定指数：取字母的；
(4) 有相同的多项式因式时，也取其最低次幂。

答案：
(1)最大公约数；
(2)都含有；
(3)相同；最低次幂

4. 找出下列各式的公因式，并尝试提取公因式：
(1) $ x^2 + 4x =$；
(2) $ 7x^2 - 21x =$；
(3) $ -x^2y + 4xy^2 - xy =$。

答案：
(1)$x(x + 4)$；
(2)$7x(x - 3)$；
(3)$-xy(x - 4y + 1)$

【例 1】用提公因式法分解因式。
(1) $ 8a^3b^2 + 12ab^3c$
(2) $ -x^2 + xy - x$

答案：
(1)
解：
原式 $8a^{3}b^{2} + 12ab^{3}c$
首先找出两项的公因式，这里是 $4ab^{2}$
$= 4ab^{2}(2a^{2} + 3bc)$
(2)
解：
原式 $-x^{2} + xy - x$
首先找出三项的公因式，这里是 $-x$
$= -x(x - y + 1)$

【例 2】分解因式。
(1) $ 2a(b + c) - 3(b + c)$
(2) $ (a - 3)^2 - (2a - 6)$
(3) $ 3m(a - b) - 9n(-a + b)$
(4) $ 15(a - b)^2 - 3y(b - a)$

答案：
(1)
解：原式 $= (b + c)(2a - 3)$；
(2)
首先对 $(a - 3)^2 - (2a - 6)$ 进行分解。
解：原式 $= (a - 3)^2 - 2(a - 3)$
$= (a - 3)(a - 3 - 2)$
$= (a - 3)(a - 5)$；
(3)
首先对 $3m(a - b) - 9n(-a + b)$ 进行分解，注意到 $-a + b = -(a - b)$。
解：原式 $= 3m(a - b) + 9n(a - b)$
$= 3(a - b)(m + 3n)$；
(4)
首先对 $15(a - b)^2 - 3y(b - a)$ 进行分解，注意到 $b - a = -(a - b)$。
解：原式 $= 15(a - b)^2 + 3y(a - b)$
$= 3(a - b)[5(a - b) + y]$
$= 3(a - b)(5a - 5b + y)$。

【例 3】用简便方法计算。
(1) $ 99^2 + 99$
(2) $ 39×37 - 13×91$

答案：
(1)
解：原式 $= 99 × (99 + 1)$
$= 99 × 100$
$= 9900$
(2)
解：原式 $= 13 × 3 × 37 - 13 × 91$
$= 13 × (3 × 37 - 91)$
$= 13 × (111 - 91)$
$= 13 × 20$
$= 260$

1. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是(C)。

A.$ (a - 3)(a + 3) = a^2 - 9$
B.$ x^2 + x - 5 = x(x + 1) - 5$
C.$ a^2 + a = a(a + 1)$
D.$ x^3y = x·x^2·y$

答案： 1.C

2. 下列各组式子中，没有公因式的一组为(D)。

A.$ x^3$ 与 $ x^2$
B.$ 2x$ 与 $ 2y$
C.$ 3(a - b)$ 与 $ 2(b - a)$
D.$ a + b$ 与 $ 4a - b$

答案： 2.D

3. 分解因式：$ mn + 4n =$n(m+4)。

答案： 3.n(m+4)

4. 分解因式：$ (x + 2)x - x - 2 =$(x+2)(x-1)。

答案： 4.(x+2)(x-1)

5. 把下列各式分解因式。
(1) $ 4a^3b - 8a^2b^2$
(2) $ -3m^3 + 9m^2 - 12mn$
(3) $ x^3(y - 3) + x^2(3 - y)$
(4) $ (5a - 6b)(3a - 4b) + (5a - 6b)(7a - 10b)$

答案： $5.(1)4a^{2}b(a-2b) (2) -3m(m^{2}-3m+4n)$
$(3)x^{2}(y-3)(x-1) (4)2(5a-6b)(5a-7b)$