《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

4. 等式 $ a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b) $ 左右两边各有什么特征？请你用语言描述。
(1) 等式的左边是项式，每项都是的形式，两项中间的符号是。
(2) 等式的右边是个因式的积，一个因式是两数的，另一个因式是这两数的。
(3) 在乘法公式中，利用“平方差”计算结果是，而在分解因式，利用“平方差”分解因式结果是。

答案：
(1) 两；平方；减号
(2) 两；和；差
(3) 多项式；整式的积

5. 平方差公式：$ a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b) $。
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的与这两个数的的。
图形描述：
$ □^{2}-◯^{2}=(□+◯)(□-◯) $
注意：在分解时，一定要注意是哪两个数的平方差。例如：$ 4x^{2}-9y^{2} $ 是 $ 2x $ 与 $ 3y $ 的平方差，$ (a + b - c)^{2}-(a - b + c)^{2} $ 是与的平方差，这个题目运用了思想。

答案： 和；差；积；$(a + b - c)$；$(a - b + c)$；整体

6. 填空：$ 4a^{2}= $ () $ ^{2} $，$ \frac{4}{9}b^{2}= $ () $ ^{2} $，$ 0.16a^{4}= $ () $ ^{2} $，$ \frac{9}{4}x^{4}y^{2}= $ () $ ^{2} $。

答案： $2a$；$\frac{2}{3}b$；$0.4a^{2}$；$\frac{3}{2}x^{2}y$。

7. 下列多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？
(1) $ x^{2}+y^{2} $ (2) $ x^{2}-y^{2} $
(3) $ -x^{2}+y^{2} $ (4) $ -x^{2}-y^{2} $

答案：
(1) 不能，因为$x^{2}+y^{2}$是两数平方和，不符合平方差公式“两数平方差”的形式。
(2) 能，因为$x^{2}-y^{2}=x^{2}-y^{2}$，符合平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$（其中$a=x$，$b=y$）。
(3) 能，因为$-x^{2}+y^{2}=y^{2}-x^{2}=y^{2}-x^{2}$，符合平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$（其中$a=y$，$b=x$）。
(4) 不能，因为$-x^{2}-y^{2}=-(x^{2}+y^{2})$，是两数平方和的相反数，不符合平方差公式“两数平方差”的形式。

【例1】分解因式。
(1) $ 4x^{2}-9 $
(2) $ 36-25x^{2} $

答案：
(1) 解：
原式 $4x^{2} - 9$
= $(2x)^{2} - 3^{2}$
= $(2x + 3)(2x - 3)$
(2) 解：
原式 $36 - 25x^{2}$
= $6^{2} - (5x)^{2}$
= $(6 + 5x)(6 - 5x)$

【例2】分解因式。
(1) $ (a + b)^{2}-c^{2} $
(2) $ (x + p)^{2}-(x + q)^{2} $

答案：
(1)
解：
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，将$(a + b)^{2}-c^{2}$中的$a + b$看作一个整体，则有：
$(a + b)^{2}-c^{2}=[(a + b)+c][(a + b)-c]=(a + b + c)(a + b - c)$
(2)
解：
同样根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，将$(x + p)^{2}-(x + q)^{2}$中的$x + p$看作$a$，$x + q$看作$b$，则有：
$(x + p)^{2}-(x + q)^{2}=[(x + p)+(x + q)][(x + p)-(x + q)]=(2x + p + q)(p - q)$

【例3】分解因式。
(1) $ x^{4}-y^{4} $
(2) $ a^{3}b - ab $

答案：
(1)
解：
原式 $x^{4} - y^{4}$
利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，得：
$x^{4} - y^{4} = (x^{2})^{2} - (y^{2})^{2} = (x^{2} + y^{2})(x^{2} - y^{2})$
再次应用平方差公式于 $x^{2} - y^{2}$，得：
$x^{2} - y^{2} = (x + y)(x - y)$
所以，
$x^{4} - y^{4} = (x^{2} + y^{2})(x + y)(x - y)$
(2)
解：
原式 $a^{3}b - ab$
首先提取公因式 $ab$，得：
$a^{3}b - ab = ab(a^{2} - 1)$
再利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ 于 $a^{2} - 1$，得：
$a^{2} - 1 = (a + 1)(a - 1)$
所以，
$a^{3}b - ab = ab(a + 1)(a - 1)$

【例4】利用因式分解计算：$ 201^{2}-199^{2} $。

答案： $201^{2}-199^{2}$
$=(201+199)(201-199)$
$=400×2$
$=800$

变式：若 $ n $ 为整数，$ (2n + 1)^{2}-25 $ 能否被4整除？

答案： 能被4整除。
$\begin{aligned}(2n + 1)^2 - 25&=(2n + 1)^2 - 5^2\\&=(2n + 1 + 5)(2n + 1 - 5)\\&=(2n + 6)(2n - 4)\\&=2(n + 3) · 2(n - 2)\\&=4(n + 3)(n - 2)\end{aligned}$
因为$n$为整数，所以$(n + 3)(n - 2)$为整数，故$4(n + 3)(n - 2)$能被4整除，即$(2n + 1)^2 - 25$能被4整除。

1. 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是(D)。

A.$ a^{2}+(-b)^{2} $
B.$ 5m^{2}-20mn $
C.$ -x^{2}-y^{2} $
D.$ -x^{2}+9 $

答案： 1. D

2. 把下列各式分解因式：
(1) $ x^{2}-16= $(x + 4)(x - 4)；
(2) $ -a^{2}+4b^{2}= $(2b + a)(2b - a)；
(3) $ (2x + y)^{2}-9= $(2x + y + 3)(2x + y - 3)；
(4) $ 9m^{2}-(2x + y)^{2}= $(3m + 2x + y)(3m - 2x - y)。

答案： 2.
(1)(x + 4)(x - 4)
(2)(2b + a)(2b - a)
(3)(2x + y + 3)(2x + y - 3)
(4)(3m + 2x + y)(3m - 2x - y)