《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

【例】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C，D，AC=AD.
求证：BC=BD.

答案： 证明：
∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C=∠D=90°。
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
AB=AB（公共边），
AC=AD（已知），
∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL）。
∴BC=BD（全等三角形对应边相等）。

变式：如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.
(1)求证△ABE≌△CBF.
(2)若∠BAE=25°，求∠ACF的度数.

答案：
(1)
证明：
因为$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以$\angle CBF=\angle ABE = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABE$和$Rt\triangle CBF$中，
$\begin{cases}AB = CB\\AE = CF\end{cases}$
根据$HL$定理，$Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle CBF$。
(2)
因为$AB = CB$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，
所以$\angle BAC=\angle BCA = 45^{\circ}$。
由（1）知$\triangle ABE\cong\triangle CBF$，所以$\angle BCF=\angle BAE = 25^{\circ}$。
所以$\angle ACF=\angle BCF+\angle BCA=25^{\circ}+45^{\circ}=70^{\circ}$。
综上，答案为$70^{\circ}$。

1. 如图，可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是(C).


A.AC=DF，BC=EF
B.∠A=∠D，AB=DE
C.AC=DF，AB=DE
D.∠B=∠E，BC=EF

答案： 1. C

2. 如图，∠A=∠D=90°，E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF.
求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.

答案： 2. 证明：
∵ BE = CF,
∴ BE + EF = CF + EF, 即 BF = CE.
∵ ∠A = ∠D = 90°,
∴ △ABF 与 △DCE 都为直角三角形.
在 Rt△ABF 和 Rt△DCE 中,
∵ $\begin{cases} BF = CE, \\ AB = CD, \end{cases}$
∴ Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).

3. 如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD.
(1)求证：△BFD≌△ACD.
(2)求证：BE⊥AC.

答案： 3. 证明：
(1)
∵ AD 是 △ABC 的高,
∴ ∠BDF = ∠ADC = 90°.
在 Rt△BDF 和 Rt△ADC 中,
∵ $\begin{cases} BF = AC, \\ DF = CD, \end{cases}$
∴ Rt△BDF≌Rt△ADC(HL).
(2)由
(1)可知 ∠FBD = ∠CAD,
∵ AD ⊥ BC,
∴ ∠EAF + ∠C = 90°,
∴ ∠FBD + ∠C = 90°
∴ BE ⊥ AC.