《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

【例1】计算。
(1)$(3x + 1)(x + 2)$
(2)$(x - 8y)(x - y)$
(3)$(x + y)(x^{2}-xy + y^{2})$
注意：相乘时，要按一定的顺序进行，做到不重不漏。每一项都包含它前面的符号，同号得正，异号得负。结果要化简，有同类项的要合并同类项。

答案：
(1)
$\begin{aligned}(3x + 1)(x + 2) \\= 3x · x + 3x · 2 + 1 · x + 1 × 2 \\= 3x^{2} + 6x + x + 2 \\= 3x^{2} + 7x + 2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(x - 8y)(x - y) \\= x · x + x · (-y) - 8y · x - 8y · (-y) \\= x^{2} - xy - 8xy + 8y^{2} \\= x^{2} - 9xy + 8y^{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(x + y)(x^{2} - xy + y^{2}) \\= x · x^{2} + x · (-xy) + x · y^{2} + y · x^{2} + y · (-xy) + y · y^{2} \\= x^{3} - x^{2}y + xy^{2} + x^{2}y - xy^{2} + y^{3} \\= x^{3} + y^{3}\end{aligned}$

【例2】若多项式$(mx + 8)(2 - 3x)$展开后不含$x$项，求$m$的值。

答案： 解：$(mx + 8)(2 - 3x)$
$= mx · 2 + mx · (-3x) + 8 · 2 + 8 · (-3x)$
$= 2mx - 3mx^2 + 16 - 24x$
$= -3mx^2 + (2m - 24)x + 16$
因为展开后不含$x$项，所以$x$项系数为$0$，即$2m - 24 = 0$，解得$m = 12$。
结论：$m = 12$

变式：试说明代数式$(x + 3)^{2}-(x + 3)(x - 2)-5(x + 1)$的值与$x$无关。

答案： 首先，对代数式进行展开：
$(x + 3)^{2} = x^{2} + 6x + 9$，
$(x + 3)(x - 2) = x^{2} + x - 6$，
$5(x + 1) = 5x + 5$，
将上述三个结果代入原代数式，得到：
$x^{2} + 6x + 9 - (x^{2} + x - 6) - (5x + 5)$
$= x^{2} + 6x + 9 - x^{2} - x + 6 - 5x - 5$
$= 10$
由于代数式化简后的结果与$x$无关，且为常数10，所以代数式$(x + 3)^{2} - (x + 3)(x - 2) - 5(x + 1)$的值与$x$无关。

【例3】已知$x^{2}-2x = 2$，求代数式$(x - 1)^{2}+(x + 3)(x - 3)+(x - 3)(x - 1)$的值(提示：整体代入)。

答案： 1

1. 计算$(2a - 3b)(2a + 3b)$的正确结果是(B)。

A.$4a^{2}+9b^{2}$
B.$4a^{2}-9b^{2}$
C.$4a^{2}+12ab + 9b^{2}$
D.$4a^{2}-12ab + 9b^{2}$

答案： 1.B

2. 若$(x - 4)(x + 8)=x^{2}+mx + n$，则$m$，$n$的值分别为(B)。

A.$4$，$32$
B.$4$，$-32$
C.$-4$，$32$
D.$-4$，$-32$

答案： 2.B

3. 若$(x + a)(x - 2)$的积中不含$x$的一次项，则$a$的值为(A)。

A.$2$
B.$-2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： 3.A

4. 现有一块长$m$米、宽$n$米的地毯，长、宽各裁掉2米后，恰好能铺满一间房间的地面，则房间地面的面积是(mn - 2m - 2n + 4)平方米。

答案： 4.(mn - 2m - 2n + 4)

5. 计算。
(1)$(x^{2}+y)(x^{2}-3y)$
(2)$(-2m - 1)(3m - 2)$

答案： $5.(1)x^{4} - 2x^{2}y - 3y^{2} (2)-6m^{2} + m + 2$