《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

阅读教材第11，12页的内容，然后回答问题.
1. 在一个直角三角形里住着3个兄弟，平时他们三兄弟非常团结. 可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，指着老大说：“你凭什么度数最大？我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说，“这是不可能的，否则我们这个家再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷.
同学们，你们知道其中的道理吗？
2. 在直角△ABC中，∠C = 90°，则∠A与∠B的关系是.
3. 若一个三角形的3个内角之比为1:3:5，则这个三角形的最大内角为.

答案： 1. 在直角三角形中，三个角之和为$180°$，由直角已占$90°$，剩余两个角之和为$90°$，若老二（另一个锐角）度数与老大（直角）一样大，则两角之和将超过$90°$（实际上是$180° - 原直角=90°+原另一个锐角＞90°$），无法构成三角形，因为三角形内角和为$180°$。
2. 在直角$\bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90{°}$，则$\angle A$与$\angle B$互余，即$\angle A + \angle B = 90{°}$。
3. 设三角形的三个内角分别为 $x, 3x, 5x$。
根据三角形内角和为 $180{°}$ 的性质，有：
$x + 3x + 5x = 180{°}$，
$9x = 180{°}$，
$x = 20{°}$。
则最大内角为 $5x = 100{°}$。

阅读教材第11—12页“例1”前的内容，然后回答问题

1. 在任意一个三角形中，将其3个内角剪下来，进行拼接，即∠B = ，∠C' = ，∠A + ∠B' + ∠C'构成一个，即可以猜想三角形的3个内角之和为180°.
2. 由上述拼接过程，我们可以发现∠B与∠B'、∠C与∠C'都分别是平行线中的，由此我们可以利用平行线的性质和平角的定义证明“三角形的内角和等于180°”.
归纳：三角形的内角和等于.
3. 通过度量、剪拼或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的3个内角和等于180°，但我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数多个，我们如何能得出“所有的三角形的3个内角的和都等于180°”这个结论呢？
探究证明：
已知：△ABC.
求证：∠A + ∠B + ∠C = 180°.
证明：

4. 通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？
(注意：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线，在平面几何里，辅助线通常用虚线表示. )
证明：如图，作BC延长线CD，过点C作射线CM//BA，

则∠ACM = ∠A()，
∠DCM = ∠B().
∵ ∠BCA + ∠ACM + ∠MCD = 180°( )，
∴ ∠BCA + ∠A + ∠B = 180°().
总结：三角形内角和定理的证明是通过平行线将三角形的内角进行转换，有很多种方法，其思路可从构造平角、构造邻补角、构造同旁内角等几方面进行思考.

答案： ∠B'；∠C；平角
@@内错角；180°
@@证明：过点 $A$ 作直线 $l$ 平行于 $BC$，$\therefore \angle 4 = \angle B$（两直线平行，内错角相等），$\angle 5 = \angle 3$（两直线平行，内错角相等），又$\because \angle 1 + \angle 4 + \angle 5 = 180°$，$\therefore \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180°$。即$\angle BAC + \angle B + \angle C = 180°$。因此，$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$。
@@两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；平角的定义；等量代换