《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

18. （6分）如图，已知等腰$\triangle ABC$的顶角$\angle A = 36^{\circ}$.
(1) 在$AC$上作一点$D$，使$AD = BD$.（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法.）
(2) 求证：$\triangle BCD$是等腰三角形.

答案：
18.
(1)解:如图所示.
　　　　　　　
(2)提示:求出角度,根据等角对等边来证明△BCD是等腰三角形.

19. （7分）如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$D$是$BC$边的中点，$E$，$F$分别是$AB$，$AC$上的点，且$BE = AF$.
求证：$ED\perp FD$.

答案：
19.提示:如图,连接AD,证明△BED≌△AFD,得∠BDE=∠ADF.
∵∠BDE+∠EDA=90°,
∴∠EDF=∠ADF+EDA=90°,即ED⊥FD.
　　　　　　

20. （7分）在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$是$BC$边上任意一点，过点$D$分别向$AB$，$AC$引垂线，垂足分别为$E$，$F$.
(1) 如图①，当点$D$在$BC$的什么位置时，$DE = DF$？证明你的结论.
(2) 如图②，过点$C$作$AB$边上的高$CG$，$DE$，$DF$，$CG$之间存在怎样的数量关系？证明你的结论.

答案： 20.解:
(1)当点D为BC的中点时,DE=DF.
　证明:连接AD.
∵AB=AC,D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
(2)CG=DE+DF.
　证明:连接AD.
∵S△ABC=S△ADE+S△ADC,
∴$\frac{1}{2}$AB·CG=$\frac{1}{2}$AB·DE+$\frac{1}{2}$AC·DF.
∵AB=AC,
∴CG=DE+DF.

21. （7分）如图，$AC$是$\triangle ABD$的中线，$AD$是$\triangle ABE$的中线，$BA = BD$.
求证：$AE = 2AC$.

答案： 21.提示:延长AC到点F,使AC=CF,连接DF,根据SAS证明△ABC≌△FDC,可得∠B=∠FDC,DF=BA,再由SAS证明△ADE≌△ADF,可得结论.