《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

【例 1】下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？
$\frac{1}{a}$，$\frac{3xy}{\pi}$，$\frac{3a^{2}b^{3}c}{4}$，$\frac{5}{6 + x}$，$\frac{x}{7} + \frac{y}{8}$，$9x + \frac{10}{y}$

答案： 分式：$\frac{1}{a}$，$\frac{5}{6 + x}$，$9x + \frac{10}{y}$；
整式：$\frac{3xy}{\pi}$，$\frac{3a^{2}b^{3}c}{4}$，$\frac{x}{7} + \frac{y}{8}$。

【例 2】分式有意义的条件类似于分数，分式的分母不为 0 时，分式有意义。
(1) 若分式 $\frac{2}{x - 1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是()。
A. $x \neq 1$
B. $x ＞ 1$
C. $x = 1$
D. $x ＜ 1$
(2) 下列分式中，无论 $x$ 取何值，一定有意义的是()。
A. $\frac{x - 1}{x^{2} + 1}$
B. $\frac{x + 1}{x^{2}}$
C. $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$
D. $\frac{x^{2}}{x + 1}$

答案：
(1)
要使分式$\frac{2}{x - 1}$有意义，则分母$x - 1\neq 0$，解得$x \neq 1$。
答案选A。
(2)
A选项：对于$\frac{x - 1}{x^{2}+1}$，因为$x^{2}\geq0$，所以$x^{2}+1\geq1\neq 0$，无论$x$取何值，该分式一定有意义。
B选项：对于$\frac{x + 1}{x^{2}}$，当$x = 0$时，分母$x^{2}=0$，分式无意义。
C选项：对于$\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}$，当$x=\pm1$时，分母$x^{2}-1 = 0$，分式无意义。
D选项：对于$\frac{x^{2}}{x + 1}$，当$x=-1$时，分母$x + 1=0$，分式无意义。
答案选A。

变式：(1) 若分式 $\frac{x + 2}{(x + 3)(x - 1)}$ 有意义，则；
(2) 若分式 $\frac{x + 2}{(x + 3)(x - 1)}$ 无意义，则；
(3) 当 $x =$时，分式 $\frac{x + 3}{x^{2} - 16}$ 无意义。

答案：
(1)
分式分母不为零时分式有意义，要使$\frac{x + 2}{(x + 3)(x - 1)}$有意义，则$(x + 3)(x - 1)\neq 0$，即$x\neq - 3$且$x\neq 1$。
(2)
分式分母为零时分式无意义，要使$\frac{x + 2}{(x + 3)(x - 1)}$无意义，则$(x + 3)(x - 1)=0$，解得$x = - 3$或$x = 1$。
(3)
要使分式$\frac{x + 3}{x^{2} - 16}$无意义，则$x^{2}-16 = 0$，即$(x + 4)(x - 4)=0$，解得$x = 4$或$x=-4$。
故答案依次为：
(1)$x\neq - 3$且$x\neq 1$；
(2)$x = - 3$或$x = 1$；
(3)$4$或$-4$。

【例 3】当 $x$ 取何值时，分式 $\frac{x^{2} - 9}{x - 3}$ 的值为 0？
注意：分式 $\frac{A}{B}$ 的值为 $0 \Rightarrow \begin{cases} A = 0, \\ B \neq 0. \end{cases}$

答案： $x=-3$

变式：在什么条件下，下列分式的值为 0？
(1) $\frac{|x| - 2}{x + 2}$
(2) $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

答案：
(1)
要使分式$\frac{|x| - 2}{x + 2}$的值为$0$，则需要满足：
$\begin{cases}|x| - 2 = 0,\\x + 2\neq 0.\end{cases}$
由$|x| - 2 = 0$，可得$|x|=2$，即$x = \pm 2$。
由$x + 2\neq 0$，可得$x\neq - 2$。
综上，$x = 2$时，分式$\frac{|x| - 2}{x + 2}$的值为$0$。
(2)
要使分式$\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$的值为$0$，则需要满足：
$\begin{cases}x^{2} - 4 = 0,\\x - 2\neq 0.\end{cases}$
由$x^{2} - 4 = 0$，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$(x + 2)(x - 2) = 0$，即$x = \pm 2$。
由$x - 2\neq 0$，可得$x\neq 2$。
综上，$x = - 2$时，分式$\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$的值为$0$。