《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

1. 请思考：$\frac{3}{4}$与$\frac{15}{20}$相等吗？$\frac{3}{8}$与$\frac{9}{24}$相等吗？为什么？

答案： $\frac{3}{4}$与$\frac{15}{20}$相等。
因为$\frac{3}{4}=\frac{3×5}{4×5}=\frac{15}{20}$，根据分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以同一个不为零的整式，分式的值不变。
$\frac{3}{8}$与$\frac{9}{24}$相等。
因为$\frac{3}{8}=\frac{3×3}{8×3}=\frac{9}{24}$，根据分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以同一个不为零的整式，分式的值不变。

2. 说出$\frac{3}{4}$与$\frac{15}{20}$、$\frac{3}{8}$与$\frac{9}{24}$之间变形的过程，并说出变形依据.

答案： $\frac{3}{4}$到$\frac{15}{20}$：分子、分母同时乘5，$\frac{3×5}{4×5}=\frac{15}{20}$；$\frac{3}{8}$到$\frac{9}{24}$：分子、分母同时乘3，$\frac{3×3}{8×3}=\frac{9}{24}$。变形依据：分式的基本性质，即分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

3. 分数的基本性质是什么？请类比猜想分式的基本性质.
分数的基本性质如下：
一个分数的分子与分母乘(或除以)一个不为0的数，分数的值. 由分数的基本性质可知，如果数$c\neq0$，那么$\frac{2}{3}=\frac{2c}{3c}$，$\frac{4c}{5c}=$.

答案： 分数的基本性质中，分子与分母应填写内容依次为：同时；公（或“同”）同一个（或“同一”）；不变（或“相同”）。
$\frac{4c}{5c}$后的横线应填：$\frac{4}{5}$。
分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。

4. 当$x$时，分式$\frac{x - 2}{x + 5}$有意义；
当$x=$时，分式$\frac{x - 2}{x + 5}$的值为0.

答案： 要使分式$\frac{x - 2}{x + 5}$有意义，则分母不能为$0$，即$x + 5 \neq 0$，解得$x \neq -5$。
要使分式$\frac{x - 2}{x + 5}$的值为$0$，则分子为$0$且分母不为$0$。分子$x - 2 = 0$，解得$x = 2$，此时分母$x + 5 = 2 + 5 = 7 \neq 0$，所以$x = 2$。
$x \neq -5$；$2$

1. 分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以(或除以)整式，分式的值不变.
用式子表示：$\frac{A}{B}=\frac{A· C}{B· C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}$(其中$C$0).
注意：明确分式的基本性质中的“同”“不等于0”. “同”：分子与分母必须都乘以(或除以)同一个整式：“同”的意思还有分子、分母同乘(或除以)，不能分子乘而分母不乘，也不能分母乘而分子不乘. “不等于0”：分子、分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式.

答案： 同一个不等于0的；≠

【例1】填空：
(1)$\frac{x}{x^{2}-2x}=\frac{(\ )}{x - 2}$，$\frac{3x^{2}+3xy}{6x^{2}}=\frac{x + y}{(\ )}$；
(2)$\frac{a + b}{ab}=\frac{(\ )}{a^{2}b}$，$\frac{2a - b}{a^{2}}=\frac{(\ )}{a^{2}b}(b\neq0)$.
分析：应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以(或除以)同一个整式，使分式的值不变.
(1)分式$\frac{x}{x^{2}-2x}$的分母由$x^{2}-2x$除以$x$才能化成，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子$x$也需要除以化成.
分式$\frac{3x^{2}+3xy}{6x^{2}}$的分子由$3x^{2}+3xy$除以$3x$才能化成，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分母$6x^{2}$也需要除以化成.
(2)分式$\frac{a + b}{ab}$的分母由$ab$乘以$a$才能化成，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子$a + b$也需要乘以化成.
分式$\frac{2a - b}{a^{2}}$的分母由$a^{2}$乘以$b$才能化成，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子$2a - b$也需要乘以化成.
思考：这里为什么要加$b\neq0$？

答案：
(1)
对于$\frac{x}{x^{2}-2x}=\frac{(\ )}{x - 2}$，先对分母$x^{2}-2x$因式分解得$x(x - 2)$，要使分母化为$x - 2$，则分子分母同时除以$x$，所以$\frac{x}{x^{2}-2x}=\frac{1}{x - 2}$，括号内应填$1$。
对于$\frac{3x^{2}+3xy}{6x^{2}}=\frac{x + y}{(\ )}$，分子$3x^{2}+3xy = 3x(x + y)$，分子除以$3x$得到$x + y$，分母$6x^{2}÷3x = 2x$，所以括号内应填$2x$。
(2)
对于$\frac{a + b}{ab}=\frac{(\ )}{a^{2}b}$，分母$ab$变为$a^{2}b$，是乘以$a$，根据分式基本性质，分子$a + b$也乘以$a$，即$(a + b)× a=a^{2}+ab$，所以括号内应填$a^{2}+ab$。
对于$\frac{2a - b}{a^{2}}=\frac{(\ )}{a^{2}b}(b\neq0)$，分母$a^{2}$变为$a^{2}b$，是乘以$b$，根据分式基本性质，分子$2a - b$也乘以$b$，即$(2a - b)× b = 2ab - b^{2}$，所以括号内应填$2ab - b^{2}$。
思考：因为原分式$\frac{2a - b}{a^{2}}$的分母为$a^{2}$，要使分母变为$a^{2}b$，需要乘以$b$，当$b = 0$时，分式$\frac{2a - b}{a^{2}b}$的分母为$0$，分式无意义，所以加$b\neq0$。
综上，答案依次为：
(1)$1$；$2x$；
(2)$a^{2}+ab$；$2ab - b^{2}$。