《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

17. （6分）如图，已知AB//CD，AB = CD，BE = CF.
求证：△ABF≌△DCE.

答案： 17.证明：
∵ AB//CD,
∴ ∠B = ∠C.
∵ BE = CF,
∴ BE - EF = CF - EF, 即 BF = CE.
∵ AB = CD, ∠B = ∠C, BF = CE,
∴ △ABF≌△DCE.

18. （7分）如图，在△ABC中，D为BC的中点. 若AB = 5，AC = 3，求AD的取值范围.

答案：
18.解：如图，延长 AD 至点 E, 使 DE = AD, 连接
数学(八年级上学期)
BE, 则 AE = 2AD.

∵ D 为 BC 的中点，
∴ CD = BD.
∵ AD = ED, ∠ADC = ∠EDB,
∴ △ADC≌△EDB(SAS),
∴ AC = EB.
∵ AB - EB ＜ AE ＜ AB + EB,
∴ AB - AC ＜ 2AD ＜ AB + AC.
又
∵ AB = 5, AC = 3,
∴ 2 ＜ 2AD ＜ 8,
∴ 1 ＜ AD ＜ 4.

19. （8分）如图，在△ABC中，AB = CB，∠ABC = 90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE = BD，连接AE，DE，DC.
（1）求证：△ABE≌△CBD.
（2）若∠CAE = 30°，求∠BDC的度数.

答案： 19.
(1)证明：
∵ ∠ABC = 90°,
∴ ∠DBC = 90°.
在△ABE 和△CBD 中，
$\begin{cases} AB = CB, \\ ∠ABE = ∠CBD, \\ BE = BD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CBD(SAS).
(2)
∵ AB = CB, ∠ABC = 90°,
∴ ∠BCA = 45°,
∴ ∠AEB = ∠CAE + ∠BCA = 30° + 45° = 75°.
∵ △ABE≌△CBD,
∴ ∠BDC = ∠AEB = 75°.

20. （8分）如图，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC = ∠ADE = 90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB.
（1）图中还有几对全等三角形？请列举.
（2）求证：CF = EF.

答案： 20.
(1)图中其他的全等三角形为△ACD≌△AEB,△DCF≌△BEF.
(2)
∵ Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴ AC = AE, AD = AB, ∠CAB = ∠EAD,
∴ ∠CAB - ∠DAB = ∠EAD - ∠DAB,
即∠CAD = ∠EAB,
∴ △CAD≌△EAB,
∴ CD = EB, ∠ADC = ∠ABE.
∵ ∠ADE = ∠ABC,
∴ ∠CDF = ∠EBF.
又
∵ ∠DFC = ∠BFE,
∴ △CDF≌△EBF,
∴ CF = EF.

21. （10分）如图，CA = CB，CD = CE，∠ACB = ∠DCE = α，AD，BE交于点H，连接CH.
（1）求证：△ACD≌△BCE.
（2）求证：CH平分∠AHE.
（3）求∠CHE的度数（用含α的式子表示）.

答案：
21.
(1)证明：
∵ ∠ACB = ∠DCE = $\alpha$,
∴ ∠ACD = ∠BCE.
在△ACD 和△BCE 中，
$\begin{cases} CA = CB, \\ ∠ACD = ∠BCE, \\ CD = CE, \end{cases}$
∴ △ACD≌△BCE(SAS).
(2)证明：如图，过点 C 作 CM⊥AD 于点 M, CN⊥BE 于点 N.

∵ △ACD≌△BCE,
∴ ∠CAM = ∠CBN.
在△ACM 和△BCN 中，
$\begin{cases} ∠CAM = ∠CBN, \\ ∠AMC = ∠BNC = 90°, \\ AC = BC, \end{cases}$
∴ △ACM≌△BCN,
∴ CM = CN,
∴ CH 平分∠AHE.
(3)令 BC, AH 交于点 Q.
∵ ∠AQC = ∠BQH, ∠CAD = ∠CBE,
∴ ∠AHB = ∠ACB = $\alpha$,
∴ ∠AHE = 180° - $\alpha$,
∴ ∠CHE = $\frac{1}{2}$∠AHE = 90° - $\frac{1}{2} \alpha$.

22. （10分）如图，点C在直线BE上，CD平分∠ACE，DB = DA，DM⊥BE于点M.
（1）求证：AC = BM + CM.
（2）若AC = 2，BC = 1，求CM的长度.

答案： 22.证明：过点 D 作 DN⊥AC 于点 N(图略)，
则∠DNC = ∠DNA = 90°.
∵ DM⊥BE,
∴ ∠DMC = 90°,
∴ ∠DNC = ∠DMC.
∵ CD 平分∠ACE,
∴ ∠DCN = ∠DCM.
又
∵ CD = CD,
∴ △CDN≌△CDM(AAS),
∴ DN = DM, CN = CM.
在 Rt△ADN 和 Rt△BDM 中，$\begin{cases} DA = DB, \\ DN = DM, \end{cases}$
∴ Rt△ADN≌Rt△BDM(HL),
∴ AN = BM.
∵ AC = AN + CN,
∴ AC = BM + CM.
参考答案
(2)解：由
(1)可知 AC = BM + CM,
∴ AC = BC + 2CM.
∵ AC = 2, BC = 1,
∴ CM = 0.5.