《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

5. 如图，在等腰 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，点 $ D $，$ E $ 分别在边 $ AB $，$ AC $ 上，且 $ AD = AE $，连接 $ BE $，$ CD $ 交于点 $ F $.
(1) 判断 $ \angle ABE $ 与 $ \angle ACD $ 的数量关系，并说明理由.
(2) 求证：过点 $ A $，$ F $ 的直线垂直平分线段 $ BC $.

答案： 5.
(1)∠ABE = ∠ACD.
(2)略.

1. 如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？
已知：直线 $ AB $ 和 $ AB $ 外一点 $ C $.
求作：$ AB $ 的垂线，使它经过点 $ C $.

作法如下：
① 任意取一点 $ K $，使点 $ K $ 和点 $ C $ 在 $ AB $ 的两旁.

答案： ① 任意取一点 K，使点 K 和点 C 在 AB 的两旁.
② 以点 C 为圆心，CK 长为半径作弧，交 AB 于点 D 和点 E.
③ 分别以点 D，E 为圆心，大于 1/2 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F.
④ 作直线 CF.
直线 CF 即为所求作的垂线.

1. 什么是轴对称图形? 它具有什么性质?

答案： 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
性质：
(1)对称轴是一条直线；
(2)对称轴两侧的图形全等；
(3)对称轴垂直平分连接两个对称点的线段；
(4)对应线段相等，对应角相等。

2. 什么是线段的垂直平分线? 它具有什么性质?

答案： 答：
定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或中垂线）。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

3. 阅读教材第67-68页的内容, 理解作图的步骤.
③分别以点D和点E为圆心, 以大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧, 两弧相交于点F.
④作直线CF.
结论: 直线CF就是所求作的垂线.
(1) 为什么任意取一点K, 使点K与点C在直线两旁?
(2) 为什么要以大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧?
(3) 为什么直线CF就是所求作的垂线?

答案：
(1) 确保能在直线上得到两个不同的交点D和E。
(2) 使两弧能相交于两点（半径不大于$\frac{1}{2}DE$时，两弧无交点或仅交于一点）。
(3) 由作图得$CD=CE$，$FD=FE$，则点C、F在DE的垂直平分线上，故CF是DE的垂直平分线，即$CF\perp$直线（DE所在直线）。

2. 只用圆规和直尺(不量长度), 你能作出线段AB的垂直平分线吗? 根据下面的做法试一试.
①分别以点为圆心, 以的长为半径画弧, 两弧相交于点C, D; (为什么要说明半径的长短?)
②作直线(强调是直线).

结论: 直线CD就是垂直平分线, 也是线段AB的对称轴.
这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图, 我们也可以用这种方法确定线段的中点.
(1) 为什么要以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧?
(2) 这种作法的依据是什么?
(3) 这种作图方法还有哪些作用?

答案： ①A、B；大于$\frac{1}{2}AB$
②CD
(1)若半径小于或等于$\frac{1}{2}AB$，两弧无交点或只有一个交点，无法确定直线，故需大于$\frac{1}{2}AB$。
(2)到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线。
(3)确定线段的中点。