《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

1. 如图，由下列条件不能推出$\triangle ABC$是等腰三角形的是(D).


A.$\angle B = \angle C$
B.$AD \perp BC$，$\angle BAD = \angle CAD$
C.$AD \perp BC$，$BD = CD$
D.$AD \perp BC$，$\angle BAD = \angle ACD$

答案： 1.D

2. 如图，直线$a$，$b$相交于点$O$，$\angle 1 = 50^{\circ}$，点$A$在直线$a$上，直线$b$上存在点$B$，使以点$O$，$A$，$B$为顶点的三角形是等腰三角形. 这样的点$B$有(D).


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 2.D

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$，$E$是$BC$边上的两点，$AD = AE$，$\angle BAD = \angle CAE$.
求证:$AB = AC$.

答案： 证明：
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED（等边对等角）．
∵∠ADE+∠ADB=180°，∠AED+∠AEC=180°（邻补角定义），
∴∠ADB=∠AEC（等角的补角相等）．
在△ABD和△ACE中，
∠BAD=∠CAE（已知），
AD=AE（已知），
∠ADB=∠AEC（已证），
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
∴AB=AC（全等三角形对应边相等）．
结论：AB=AC．

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$\triangle ABC$的中线，$AE$是$\angle BAD$的平分线，$DF // AB$，交$AE$的延长线于点$F$.
(1) 若$\angle BAC = 120^{\circ}$，求$\angle BAD$的度数.
(2) 求证:$\triangle ADF$是等腰三角形.

答案： 4.
(1)解:
∵AB=AC,AD是△ABC的中线，
∴∠BAD=∠CAD.
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=60°.　
(2)证明:
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠EAB.
∵DF//AB,
∴∠F=∠BAE,
∴∠DAF=∠F,
∴AD=DF,
∴△ADF是等腰三角形.

5. 如图，在$\triangle ABD$中，$AB = AD$，$AC$平分$\angle BAD$，交$BD$于点$E$，连接$BC$，$DC$.
(1) 求证:$\triangle BCD$是等腰三角形.
(2) 若$\angle ABD = 50^{\circ}$，$\angle BCD = 130^{\circ}$，求$\angle ABC$的度数.

答案： 5.
(1)证明:
∵AB=AD,AC平分∠BAD,
∴AE垂直平分BD,
∴BC=DC,
∴△BCD是等腰三角形.　
(2)75°

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 2\angle B$，$CD$平分$\angle ACB$，交$AB$于点$D$.
求证:$AC + AD = BC$.

答案：
6.证明:如图,在BC上截取CE=AC,连接DE.
　　　　　　
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCE.
　在△ACD与△ECD中，
∵$\begin{cases}AC=EC, \\ ∠ACD=∠ECD, \\ CD=CD, \end{cases}$
∴△ACD≌△ECD(SAS),
∴AD=DE,∠A=∠CED.
∵∠A=2∠B,
∴∠CED=2∠B.
∵∠CED=∠B+∠EDB,
∴∠B=∠EDB,
∴DE=BE,
∴AD=EB,
∴AC+AD=CE+BE=BC.