《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

阅读教材第114，115页的内容，然后回答问题.
一位老人非常喜欢孩子. 每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果来招待他们. 来1个孩子，老人就给这个孩子1块糖；来2个孩子，老人就给每个孩子2块糖；来3个孩子，老人就给每个孩子3块糖……
(1)第1天有$a$个孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(2)第2天有$b$个孩子一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(3)第3天这$(a + b)$个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(4)这些孩子第3天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？

答案：
(1)根据题意，第1天有 $a$ 个孩子去了老人家，每个孩子得到 $a$ 块糖，所以老人一共给了 $a × a = a^{2}(块)$。
综上，正确答案为：$a^{2}$。
(2)第2天有 $b$ 个孩子一起去了老人家，每个孩子得到 $b$ 块糖，所以老人一共给了$b × b = b^{2}(块)$。
综上，正确答案为：$b^{2}$。
(3)第3天有 $(a + b)$ 个孩子一起去看老人，每个孩子得到 $(a + b)$ 块糖，所以老人一共给了$(a + b) × (a + b) = (a + b)^{2}(块)$。
综上，正确答案为：$(a + b)^{2}$。
(4)前两天孩子们得到的糖果总数为：$a^{2} + b^{2}$。
第3天孩子们得到的糖果数为：$(a + b)^{2}$。
计算两者之差：
$(a + b)^{2} - (a^{2} + b^{2}) = 2ab$
因为 $a$ 和 $b$ 都为正整数，所以 $2ab ＞ 0$。
因此$(a + b)^{2} ＞ a^{2} + b^{2}$。
综上，正确答案为：第三天得到的糖果数量多。

1. 计算下列各式，你能发现什么规律？
(1)$(p + 1)^2 = (p + 1)(p + 1) =$.
(2)$(m + 2)^2 =$$=$.
(3)$(p - 1)^2 = (p - 1)(p - 1) =$.
(4)$(m - 2)^2 =$$=$.

答案：
(1)$p^2 + 2p + 1$；
(2)$ (m + 2)(m + 2) $；$m^2 + 4m + 4$；
(3)$p^2 - 2p + 1$；
(4)$ (m - 2)(m - 2) $；$m^2 - 4m + 4$；

2. 上述4个算式有什么特点？结果有什么特点？
等号的左边是，
等号的右边是.

答案： 两数和（或差）的平方；这两数的平方和与它们积的 2 倍的和（或差）。

3. 直接写出下列式子的结果.
$(a + b)^2 =$，
$(a - b)^2 =$.

答案： $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。

4. 我们把上面的等式叫作(乘法的)完全平方公式.
用文字叙述：两个数的的平方，等于它们的，加上(或减去)它们的.

答案： （本题为填空题目，无ABCD选项，按要求填写文字内容即可）依次填写和（或差）、平方和、积的2倍。

5. 你能根据下列图中的面积说明完全平方公式吗？

答案： 图①和图②均说明了 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。

6. (从整体角度看)图①中大正方形的边长为，所以整个正方形的面积为.
由图①可以看出，大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成的，其面积也可以表示为，二者的关系用等式表示为.

答案： $a + b$；$(a + b)^2$；$a^{2}+2ab + b^{2}$；$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$

7. 图②中左下角的正方形的边长为，所以此正方形的面积为.
由图②可以看出，左下角的正方形可由大正方形减去两个矩形和一个小正方形而得，则阴影部分面积为，二者的关系用等式表示为.

答案： $a - b$；$(a - b)^2$；$a^2 - 2ab + b^2$；$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

8. 完全平方公式的特征：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
(1)积为二次三项式；
(2)积中两项为两数的平方和；
(3)另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同，即$2ab$前面的符号为“同号加，异号减”；
(4)公式中的字母$a$，$b$可以表示数、单项式或多项式.

答案： 上述特征描述正确。