《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

问题2：如图，$A$，$B$两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥$MN$. 桥造在何处可使从$A$到$B$的路径$AMNB$最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直. ）

1. 如图，将实际问题抽象为数学问题：

把河的两岸看成两条平行线$a$和$b$，$N$为直线$b$上的一个动点，$MN$垂直于直线$b$，交直线$a$于点$M$. 这样，上面的问题可以转化为如下问题：当点$N$在直线$b$的什么位置时，$AM + MN + NB$最小？
2. 解决数学问题：
因为河宽是固定的，所以$MN$是定值，要使$AM + MN + NB$最小，只要使$AM + NB$最小. 由此，我们把$AM$沿着垂直于河岸的方向平移河宽的长度，使得点$M$和点$N$重合，如图，就转化为在直线$b$上找点$N$使得$A'N + NB$最小.

3. 请写出作法，并证明为什么这样作图找到的路径是最短的.

答案： 作法：
1. 过点A作直线a的垂线（垂直于河岸），在垂线上截取线段AA'，使AA'的长度等于河宽（即两平行线a、b间的距离），且点A'位于靠近直线b的一侧；
2. 连接A'B，交直线b于点N；
3. 过点N作直线b的垂线，交直线a于点M；
4. 连接AM、NB，则MN即为所求的桥，路径AMNB最短。
证明：
设河宽为d，则MN = d（定值）。任取直线b上异于N的点N'，过N'作直线b的垂线交直线a于点M'，则M'N' = d。
由作法知，AA'平行且等于MN（均垂直于河岸，长度为d），故四边形AA'NM是平行四边形，因此AM = A'N。同理，AM' = A'N'。
则AM + NB = A'N + NB，AM' + N'B = A'N' + N'B。
因为N是A'B与直线b的交点，由“两点之间线段最短”得A'N + NB = A'B。
在△A'N'B中，由“三角形两边之和大于第三边”得A'N' + N'B ＞ A'B，故AM' + N'B ＞ AM + NB。
又MN = M'N' = d，因此AM' + M'N' + N'B ＞ AM + MN + NB，即路径AMNB最短。

【例1】如图，点$P$为马厩，$AB$为草地边缘（下方为草地），$CD$为一河流. 牧马人欲从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马厩. 请帮他确定一条最佳行走路线.

答案： P→E→F→P（其中E为P₁P₂与AB交点，F为P₁P₂与CD交点）

变式：如图，等腰$\triangle ABC$的底边$BC$的长度为$6$，面积是$18$，腰$AC$的垂直平分线$EF$分别交$AC$，$AB$于点$E$，$F$. 若点$D$为$BC$边的中点，点$M$为线段$EF$上一动点，则$\triangle CDM$的周长的最小值为.

答案： 9

1. $A$，$B$是两个居民小区，快递公司准备在公路$l$上选取的点$P$处建一个服务中心，使$PA + PB$最小. 下列$4$种选址方案中，符合要求的是(A).

答案： 1.A