《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

2. 由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗？

答案： 不能判定。
反例：如图，在△ABC和△ABD中，AB=AB（公共边），AC=AD，∠B=∠B（公共角），但△ABC与△ABD不全等。
结论：“两边及其中一边的对角对应相等”的条件不能判定两个三角形全等。

【例】一个池塘如图所示，要测池塘两侧A，B间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD = CA，连接BC并延长到E，使CE = CB，连接DE。那么，DE的长度就是A，B间的距离。为什么？

答案： 在$\triangle ABC$和$\triangle DEC$中，
$\because\begin{cases}CA = CD,\\\angle 1=\angle 2,\\CB = CE.\end{cases}$
根据全等三角形判定定理（SAS：两边及其夹角对应相等的三角形全等），
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle DEC$，
根据全等三角形对应边相等，
$\therefore AB = DE$，
即$DE$的长度就是$A$，$B$间的距离。

变式：如图，点A，C，F，D在同一条直线上，AB // DE，AF = DC，AB = DE。
求证：BC // EF。

答案： 证明：
∵ AB // DE，
∴ ∠A = ∠D（两直线平行，内错角相等）。
∵ AF = DC，
∴ AF - CF = DC - CF，即 AC = DF。
在△ABC 和△DEF 中，
AB = DE，
∠A = ∠D，
AC = DF，
∴ △ABC ≌ △DEF（SAS）。
∴ ∠ACB = ∠DFE（全等三角形对应角相等）。
∴ BC // EF（内错角相等，两直线平行）。

1. 如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、西行进行相同的距离，到达C，D两地。此时C，D到B的距离相等吗？为什么？

答案： 1.解：C,D到B的距离相等，理由如下：
由题意可知AB⊥CD，
∵∠BAD = ∠BAC = 90°.
∵AB = AB,AD = AC，
∴△ABC≌△ABD(SAS).
∴BC = BD,即C,D到B的距离相等.

2. 如图，点E，F在BC上，BE = CF，AB = DC，∠B = ∠C。
求证：∠A = ∠D。

答案： 2.证明：
∵BE = CF，
∴BE + EF = CF + EF,即BF = CE.
又
∵AB = DC,∠B = ∠C，
∴△ABF≌△DCE(SAS)，
∴∠A = ∠D.

3. 如图，AB = AC，AD = AE，∠1 = ∠2。
求证：BD = CE。

答案： 3.证明：
∵∠1 = ∠2，
∴∠1 + ∠BAE = ∠2 + ∠BAE，
即∠BAD = ∠CAE.
又
∵AB = AC,AD = AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD = CE.

1. 利用“边角边”判定三角形全等时，边和角有什么要求？
2. 证明线段、角相等，有哪些常见方法？你能总结一下吗？

答案： 1. 两边及其夹角分别相等；2. 见解析

1. 如图，已知AD // BC，AD = CB，要用“边角边”证明△ABC ≌ △CDA，需要3个条件，这3个条件中，已具有两个条件：一是AD = CB(已知)，二是AC = CA。还需要一个条件是∠DAC = ∠BCA。

答案： 1.AC = CA ∠DAC = ∠BCA