《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

3. 填空：
(1)$(x + 1)(x - 1)=$；
(2)$(m + 2)(m - 2)=$；
(3)$(2x + 1)(2x - 1)=$；
(4)$(x + 5y)(x - 5y)=$.
观察上述算式，你发现了什么规律？
①算式中每个因式都是项；
②算式都是两个数的与的.
运算出结果后，你又发现了什么规律？
计算结果都是相同项的减去符号相反项的.

答案：
(1)$x^{2}-1$
(2)$m^{2}-4$
(3)$4x^{2}-1$
(4)$x^{2}-25y^{2}$
①二
②和；差；积
平方；平方

1. 利用你发现的规律计算：$(a + b)(a - b)=$.

答案： $a^{2}-b^{2}$

2. 两数与这两数的积，等于这两数的，这个式子可以当作公式来应用，叫作(乘法的).
注意：其中的$a$，$b$表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式. 运用该公式时，一定要找准“相同项”“相反项”，同时注意各项的符号和系数.

答案： 和；差；平方差；平方差公式

3. 下列多项式相乘可以用平方差公式的是(填序号).
①$(2a + 3b)(2a - 3b)$
②$(-2a + 3b)(2a - 3b)$
③$(-2a + 3b)(-2a + 3b)$
④$(-2a - 3b)(2a - 3b)$
⑤$(3x + 2y)(3x - 2y)$
⑥$(-7 + 2m^{2})(-7 - 2m^{2})$

答案： ①④⑤⑥

4. 填表：

答案： |$(a + b)(a - b)$|$a$|$b$|$a^2 - b^2$|结果|
|----|----|----|----|----|
|$(b + 2a)(2a - b)$|$2a$|$b$|$(2a)^2 - b^2$|$4a^2 - b^2$|
|$(-m + n)(-m - n)$|$-m$|$n$|$(-m)^2 - n^2$|$m^2 - n^2$|
|$(\frac{1}{5}x - 2y)(-\frac{1}{5}x - 2y)$|$-2y$|$\frac{1}{5}x$|$(-2y)^2 - (\frac{1}{5}x)^2$|$4y^2 - \frac{1}{25}x^2$|

【例1】计算.
(1)$(3x + 2)(3x - 2)$
(2)$(-x + 2y)(-x - 2y)$
平方差公式口诀：两数和乘两数差，等于两数平方差，积化和差变两项，计算正确全靠它.

答案：
(1)
根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，在$(3x + 2)(3x - 2)$中，$a = 3x$，$b = 2$。
则$(3x + 2)(3x - 2)=(3x)^{2}-2^{2}=9x^{2}-4$。
(2)
将$(-x + 2y)(-x - 2y)$变形为$[(-x)+2y][(-x)-2y]$，根据平方差公式，这里$a=-x$，$b = 2y$。
所以$(-x + 2y)(-x - 2y)=(-x)^{2}-(2y)^{2}=x^{2}-4y^{2}$。
综上，答案依次为：
(1)$9x^{2}-4$；
(2)$x^{2}-4y^{2}$。

【例2】计算.
(1)$(y + 2)(y - 2)-(y - 1)(y + 5)$
(2)$102×98$

答案：
(1)
$\begin{aligned}&(y + 2)(y - 2)-(y - 1)(y + 5)\\=&y^2 - 4 - (y^2 + 5y - y - 5)\\=&y^2 - 4 - y^2 - 4y + 5\\=&-4y + 1\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&102×98\\=&(100 + 2)(100 - 2)\\=&100^2 - 2^2\\=&10000 - 4\\=&9996\end{aligned}$