《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

【例2】如图,已知$\triangle ABC$是等边三角形,$D$是$BC$的延长线上的一点,$EC$平分$\angle ACD$,且$\angle ADE = 60^{\circ}$,$BD = CE$.
求证:$\triangle ADE$是等边三角形.

答案： 证明：
1.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°。
2.
∵D是BC延长线上一点，
∴∠ACD=180°-∠ACB=120°。
3.
∵EC平分∠ACD
∴∠ACE=∠ACD/2=60°，即∠ACE=∠ABC=60°。
4. 在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠ABD=∠ACE=6°，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
5
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE。
6.
∵∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°∠CAE=∠DAE+∠CAD，且∠BAD=∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE=60°。
7.
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形。

1. 如图,在等边$\triangle ABC$的边$AC$,$BC$上各取一点$P$,$Q$,$AP = CQ$,$AQ$,$BP$相交于点$O$. 求$\angle BOQ$度数.

答案： 1. $\angle BOQ = 60^{\circ}$.

2. 如图,在等边$\triangle ABC$的$AC$边上取中点$D$,在$BC$的延长线上取一点$E$,使$CE = CD$.
求证:$BD = DE$.

答案： 2. 提示：根据等角对等边进行证明.

1. 等边三角形的性质和判定方法有哪些?
2. 总结并比较等边三角形和等腰三角形的定义、性质和判定的区别.

答案： 1. 性质：①三边相等；②三角相等且为60°；③三条对称轴；④三线合一。判定：①三边相等；②三角相等；③有一个60°角的等腰三角形。2. 定义：等腰三角形两边相等，等边三角形三边相等。性质：等腰三角形两腰等、两底角等、1条对称轴、底边上三线合一；等边三角形三边等、三角等60°、3条对称轴、任意边上三线合一。判定：等腰三角形：两边等或两角等；等边三角形：三边等、三角等或有60°角的等腰三角形。

1. 如图,已知点$B$,$C$,$D$,$E$在同一直线上,$\triangle ABC$是等边三角形,且$CG = CD$,$DF = DE$,则$\angle E =$15°.

答案： 1. $15^{\circ}$

2. 如图,直线$a// b$,等边$\triangle ABC$的顶点$B$在直线$b$上. 若$\angle 1 = 34^{\circ}$,则$\angle 2 =$(C).


A.$84^{\circ}$
B.$86^{\circ}$
C.$94^{\circ}$
D.$96^{\circ}$

答案： 2. C

3. 如图,$\triangle ABC$是等边三角形,点$D$在$BC$上,$\triangle ADE$是等腰三角形,$AD = AE$,$\angle DAE = 100^{\circ}$. 当$DE\perp AC$时,求$\angle BAD$和$\angle EDC$的度数.

答案： 3. $\angle BAD = 10^{\circ}$, $\angle EDC = 30^{\circ}$.

4. 如图,在等边$\triangle ABC$中,点$P$在$\triangle ABC$内,点$Q$在$\triangle ABC$外,且$\angle ABP = \angle ACQ$,$BP = CQ$. 问:$\triangle APQ$是什么形状的三角形? 试说明你的结论.

答案： 4. 提示：先证$\triangle ABP \cong \triangle ACQ$,得$AP = AQ$,$\angle BAP = \angle CAQ$,再证$\angle PAQ = 60^{\circ}$,从而得出$\triangle APQ$是等边三角形.