《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

2. 如图，$OA$，$OB$分别是线段$MC$，$MD$的垂直平分线，$MD = 5$cm，$MC = 7$cm，$CD = 10$cm. 一只小蚂蚁从点$M$出发爬到$OA$边上任意一点$E$，再爬到$OB$边上任意一点$F$，然后爬回点$M$处. 小蚂蚁爬行的路径最短为10cm.

答案： 2.10cm

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
1. 总结将军饮马问题中的转化方法.
2. 总结造桥选址问题中的转化方法.

答案： 1. 作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，所得线段与直线的交点即为所求，利用轴对称将折线转化为直线段。
2. 将点沿垂直于桥的方向平移桥长的距离，连接平移后的点与另一点，所得线段与河岸的交点确定桥的位置，利用平移将折线转化为直线段。

1. 如图，直线$m$是$\triangle ABC$中$BC$边的垂直平分线，点$P$是直线$m$上的一动点，$AB = 6$，$AC = 4$，$BC = 7$.
(1) 求$PA + PB$的最小值，并说明理由.
(2) 求$\triangle APC$周长的最小值.

答案： 1.
(1)PA + PB = AB = 6.
原因:两点之间,线段最短.
(2)10,提示:根据题意知点C关于直线m的对称点为点B,故当点P与点D重合时,AP + CP值的最小,求出AB + AC的长度即可得到结论.

2. 如图，在$P$，$Q$两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从$P$村往$Q$村要经过两座桥$EF$，$MN$，现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥. 问：如何设计这两座桥$EF$，$MN$的位置，使由$P$村到$Q$村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置. ）

答案：
2.解:如图所示.

(1)过点P作PA⊥$l_1$,垂足为A,过点Q作QB⊥$l_2$,垂足为B;
(2)分别在PA和QB上截取PC = QD = 河的宽度;
(3)连接CD,分别交$l_1$和$l_2$于点E和M;
(4)过点E和M分别作$l_1$和$l_2$的垂线段,垂足分别为F和N.
(5)连接PF和QN,则路线P→F→E→M→N→Q就是满足题意的最短路线.