《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

1. 两个三角形全等，它们的3个角、3条边分别对应相等。反过来，如果两个三角形的上述6个元素对应相等，它们是否一定全等？

答案： 设两个三角形分别为 $\triangle ABC$和 $\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$，假设它们的三个角（$\angle A = \angle A^{\prime}$，$\angle B = \angle B^{\prime}$，$\angle C = \angle C^{\prime}$）和三条边（$AB = A^{\prime}B^{\prime}$，$BC = B^{\prime}C^{\prime}$，$CA = C^{\prime}A$）分别对应相等。
根据三角形全等的定义，如果两个三角形的三条边及三条边对应的夹角分别相等，则两个三角形全等。
由于两个三角形的三个角和三条边都对应相等，满足三角形全等的条件。
因此，这两个三角形全等。
最终结论：如果两个三角形的6个元素（3个角和3条边）对应相等，它们一定全等。

2. 两个三角形全等，是否一定需要6个条件呢？如果只满足上述一部分条件，是否我们也能说明它们全等？你能根据下列图形尝试说明至少需要几个条件吗？
(一个角对应相等。)
(一条边对应相等。)
(两条边对应相等。)
(两个角对应相等。)
(一个角、一条边对应相等。)

答案： 两个三角形全等不一定需要6个条件（3组对应边和3组对应角），满足一部分条件也能判定全等。
根据图形说明：
一个角对应相等：不能判定两个三角形全等，因为仅有一个角对应相等时，两个三角形的大小和形状可能不同。
一条边对应相等：不能判定两个三角形全等，因为仅有一条边对应相等时，两个三角形的形状和大小可能不同。
两条边对应相等：不能判定两个三角形全等，因为两条边对应相等时，两个三角形的形状可能不同（如两个三角形夹角不同）。
两个角对应相等：不能判定两个三角形全等，因为两个角对应相等时，两个三角形的大小可能不同（相似但不一定全等）。
一个角、一条边对应相等：不能判定两个三角形全等，因为一个角和一条边对应相等时，另一个边的长度可能不同。
根据三角形全等判定定理：
SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
AAS（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。
对于直角三角形，还有HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
所以至少需要3个条件（且要符合上述判定定理）才能判定两个三角形全等。

3. 先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使AB = A'B'，AC = A'C'，∠A = ∠A'，把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们是否重合？

答案： 根据题意，作△A'B'C'，使AB = A'B'，AC = A'C'，∠A = ∠A'。
根据三角形全等的判定定理中的“边角边”（SAS）定理，如果两个三角形有两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。
在本题中，已知AB = A'B'，AC = A'C'，∠A = ∠A'，因此根据SAS定理，△ABC与△A'B'C'全等。
把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们完全重合。
结论：它们重合。

4. 如果“两边和一角”条件中的角是其中一边的对角，比如45°角的一边是4cm，它所对的边是3cm，情况会怎样呢？
小明和小慧按照所给条件分别画出了如图所示的三角形，它们全等吗？把你的发现和同伴进行交流。

答案： 小明和小慧画出的三角形不全等。
“两边和其中一边的对角对应相等”（SSA）不能作为判定两个三角形全等的条件。

1. 以上试验反映的规律是：两边和它们的对应相等的两个三角形全等，可以简写为“”或“”。

用数学语言表述：
如图，在△ABC和△A'B'C'中，
∵ $\begin{cases} AB = A'B', \\ ∠B = $$, \\ BC = $$, \end{cases}$
∴ △ABC ≌ ()。
注意：“SAS”中的角是两边的夹角，在书写时“夹角”一定要写在中间。

答案： 夹角；边角边；SAS；∠B'；B'C'；△A'B'C'；SAS