《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

1. 什么是等腰三角形? 根据定义画出一个等腰三角形,并指出等腰三角形的腰、底边、顶角和底角.
2. 等腰三角形的性质有哪些?

答案： 1.
答：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
画图：画$\triangle ABC$，使$AB = AC$，则$\triangle ABC$为等腰三角形。其中$AB$、$AC$为腰，$BC$为底边，$\angle A$为顶角，$\angle B$、$\angle C$为底角。
2.
答：
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$.
求证:$∠B = ∠C$.

2. 请用文字语言和符号语言分别表述等腰三角形的性质1.

答案： 1. 证明：作∠BAC的平分线AD，交BC于点D。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS）。
∴∠B=∠C。
2. 文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
符号语言：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。

1. 结合性质1的证明说一说等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的高、底边上的中线有什么关系.
2. 从轴对称的角度来说一说三线合一,并指出等边三角形的对称轴.
3. 请用文字语言和符号语言分别表述等腰三角形的性质2.

答案： 1.
等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合。
证明：
已知在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是顶角$\angle BAC$的平分线。
因为$AB = AC$，$\angle BAD=\angle CAD$，$AD = AD$，根据“边角边”定理可得$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
所以$\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}$，即$AD\perp BC$（高）；$BD = CD$，即$AD$是底边$BC$上的中线。
所以等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合。
2.
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线。因为沿这条直线折叠，等腰三角形的两部分能够完全重合，所以顶角平分线、底边上的高、底边上的中线三线合一。
等边三角形有三条对称轴，分别是三边上的垂直平分线（或三条高、三条角平分线、三条中线）所在的直线。
3.
文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
符号语言：在$\triangle ABC$中，因为$AB = AC$，所以$\angle B=\angle C$。

【例1】如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$D$在$AC$上,且$BD = BC = AD$. 求$\triangle ABC$各角的度数.

答案： 设$\angle A = x$，
因为$AD = BD$，
所以$\angle ABD = \angle A = x$，
则$\angle BDC = \angle A + \angle ABD = 2x$。
因为$BD = BC$，
所以$\angle C = \angle BDC = 2x$。
因为$AB = AC$，
所以$\angle ABC = \angle C = 2x$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ}$，
即$x + 2x + 2x = 180^{\circ}$，
解得$x = 36^{\circ}$。
所以$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle ABC = \angle C = 72^{\circ}$。
综上，$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle ABC = 72^{\circ}$，$\angle C = 72^{\circ}$。