《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

变式2: 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle ACB = 90^{\circ}$, $CD$ 是 $AB$ 边上的高, $\angle A = 30^{\circ}$, $AB = 4$, 则 $BD=$ 1.

答案： 变式2: 1

1. 在 $Rt\triangle ABC$ 中, $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle B = 30^{\circ}$, $AC = 3$, 则 $AB = ($ ).

A.3
B.4
C.6
D.8

答案： 1.C

2. 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle B = 60^{\circ}$, $\triangle ABC$ 的高 $CE$, $AD$ 交于点 $F$, 且点 $F$ 为 $AD$ 的中点. 若 $CE = 15$, 求 $EF$ 的长度.

答案： 2.3

3. 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $AB = AC$, $\angle BAC = 120^{\circ}$, $D$ 为 $BC$ 的中点, $DE\perp AC$ 于点 $E$, $AE = 8$. 求 $CE$ 的长度.

答案： 3.CE=24,提示:连接AD.

1. 含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形有什么性质?
2. 你能叙述一下这一性质的证明思路吗?

答案： 1. 在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 略（叙述思路如上述解析）

1. 如果一个直角三角形的一个锐角是 $30^{\circ}$, 且斜边与最短边之和为 $15\ cm$, 那么斜边的长度是 10 cm.

答案： 1.10 cm

2. 如图, 等边 $\triangle ABC$ 的周长是 12, $AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线, 则 $BD=$ 2.

答案： 2.2

3. 如图$, AC = BC = 10\ cm, \angle B = 15^{\circ}, AD\perp BC $于点 D, 则 AD 的长度为 (C).

A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm

答案： 3.C

4. 在等腰 $\triangle ABC$ 中, $BD\perp AC$, 垂足为 $D$, 且 $BD=\frac{1}{2}AC$, 则等腰 $\triangle ABC$ 底角的度数为 15°,45°,75°.

答案： $4.15^{\circ},45^{\circ},75^{\circ}$

5. 如图, 等边 $\triangle ABC$ 的边长为 8, $D$ 为 $AB$ 边上一动点, 过点 $D$ 作 $DE\perp BC$ 于点 $E$, 过点 $E$ 作 $EF\perp AC$ 于点 $F$.
(1) 若 $AD = 2$, 求 $AF$ 的长.
(2) 当 $AD$ 取何值时, $DE = EF$?

答案： 5.
(1)AF=5.5.
(2)当$AD=\frac{8}{3}$时,DE=EF.

6. 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle A = 90^{\circ}$, $\angle B = 30^{\circ}$, $AC = 6\ cm$. 点 $D$ 从点 $A$ 出发, 以 $1\ cm/s$ 的速度向点 $C$ 运动; 同时, 点 $E$ 从点 $C$ 出发, 以 $2\ cm/s$ 的速度向点 $B$ 运动, 运动的时间为 $t\ s$.
(1) 当 $t$ 为何值时, $\triangle DEC$ 为等边三角形?
(2) 当 $t$ 为何值时, $\triangle DEC$ 为直角三角形?

答案： 6.
(1)当t为2时,△DEC为等边三角形;
(2)当t为$\frac{6}{5}$或3时,△DEC为直角三角形.
提示:
(1)根据等边三角形的性质列出方程求出t的值;
(2)分两种情况讨论:①当∠DEC为直角时,
②当∠EDC为直角时,分别利用30度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出t的值.