《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

5. 如图,已知点$C$是线段$AB$上一点,$\triangle ACD$,$\triangle CBE$都是等边三角形,$AE$与$CD$相交于点$M$,$BD$与$CE$相交于点$N$.
(1) 求证:$AE = BD$;
(2) 求证:$MN// AB$.

答案： 5. 提示：
(1) 证$\triangle ACE \cong \triangle DCB$.
(2) 证$\triangle MCN$是等边三角形.

1. 等边三角形的性质和判定方法分别有哪些?
2. 含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形有什么性质?
3. 在 $Rt\triangle ABC$ 中, $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle B = 2\angle A$, $\angle B$ 和 $\angle A$ 各是多少度? 边 $AB$ 和 $BC$ 之间有什么关系?

答案： 1.
等边三角形性质：
三边相等；
三个角都是$60^{\circ}$；
是轴对称图形，有三条对称轴，每条边的垂直平分线都是其对称轴 。
等边三角形判定方法：
三边都相等的三角形是等边三角形；
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形。
2.
在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3.
因为$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 2\angle A$，且$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，将$\angle B = 2\angle A$代入$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，可得$\angle A + 2\angle A=90^{\circ}$，即$3\angle A = 90^{\circ}$，解得$\angle A = 30^{\circ}$。
那么$\angle B = 2×30^{\circ}=60^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，根据$30^{\circ}$角所对的直角边是斜边的一半，因为$\angle A = 30^{\circ}$，所以$BC=\frac{1}{2}AB$，即$AB = 2BC$。
综上，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，$AB = 2BC$。

1. 如图, 把等边 $\triangle ABC$ 沿着它的一条对称轴剪开, 得到两个什么样的特殊直角三角形? 你能根据等边三角形的性质得到这样的直角三角形的较短直角边和斜边的数量关系吗?

答案： 得到两个含 $30°$ 角的直角三角形；较短直角边等于斜边的一半。

2. 如图, 在 $Rt\triangle ABC$ 中, $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$.
求证: $BC=\frac{1}{2}AB$.

答案： 证明：延长BC至点D，使CD=BC，连接AD。
∵∠C=90°，
∴∠ACD=∠ACB=90°。
在△ACB和△ACD中，
AC=AC，∠ACB=∠ACD，CB=CD，
∴△ACB≌△ACD（SAS）。
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=30°。
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=60°。
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形。
∴AB=BD。
∵BD=BC+CD=2BC，
∴AB=2BC，即BC=1/2AB。

【例】屋架设计图的一部分如图所示, 点 $D$ 是斜梁 $AB$ 的中点, 立柱 $BC$, $DE$ 垂直于横梁 $AC$, $AB = 7.4\ m$, $\angle A = 30^{\circ}$. 问: 立柱 $BC$, $DE$ 的长度为多少?

答案： 在△ABC中，BC⊥AC，∠A=30°，AB=7.4m，
∵在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴BC=1/2AB=1/2×7.4=3.7m。
∵D是AB的中点，
∴AD=1/2AB=3.7m。
在△ADE中，DE⊥AC，∠A=30°，
∴DE=1/2AD=1/2×3.7=1.85m。
答：立柱BC的长度为3.7m，DE的长度为1.85m。

变式1: 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$, $AB = 10$, 则 $BC$ 的长度为 5.

答案： 变式1: 5