《2025年新课堂同步学习与探究八年级数学上册人教版》

【例1】如果三角形一个角的外角平分线平行于三角形的第三边，那么这个三角形是等腰三角形吗? 为什么?

答案： 是等腰三角形。理由如下：
设△ABC中，∠A的外角为∠DAC（D在BA延长线上），AE平分∠DAC且AE//BC。
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE（角平分线定义）。
∵AE//BC，
∴∠DAE=∠B（两直线平行，同位角相等），∠CAE=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∴∠B=∠C。
∴AB=AC（等角对等边）。
故△ABC是等腰三角形。

变式:如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗? 为什么?

答案： 是等腰三角形。
证明：设长方形为ABCD，AD//BC，沿对角线AC折叠，点B落在B'处，B'C交AD于点E。
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA（两直线平行，内错角相等）。
由折叠性质得∠BCA=∠B'CA，
∴∠DAC=∠B'CA。
在△AEC中，∠EAC=∠ECA，
∴EA=EC（等角对等边）。
故△AEC是等腰三角形，即重合部分是等腰三角形。

【例2】已知等腰三角形底边长为$a$，底边上的高的长度为$h$，求作这个等腰三角形.

$ \underline{\quad a\quad} $ $\underline{\quad h\quad}$

答案： 作法：
①作线段$BC = a$；
②作线段$BC$的垂直平分线$m$，交$BC$于点$D$；
③在$m$上取点$A$，使$AD = h$；
④连接$AB$，$AC$，则$\triangle ABC$为所求作的等腰三角形。

1. 如图，$AD$平分$\angle BAC$，$AD \perp BD$于点$D$，$\angle BAD = 30^{\circ}$，$DE // AC$，则图中的等腰三角形有(C).


A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

答案： 1.C

2. 如图，$AD // BC$，$BD$平分$\angle ABC$，$AB = 6$，则$AD = $6.

答案： 2.6

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = \angle ACB$，$AD$平分$\angle BAC$，$E$是线段$AD$上一点.
求证:$BE = CE$.

答案： 3.提示:先利用“等角对等边”得到等腰三角形，再利用“三线合一”得AD是BC边上的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得结论.

4. 如图，已知$AB = AC$，$AD = AE$，$BD$和$CE$相交于点$O$.
(1) 求证:$\triangle ABD \cong \triangle ACE$.
(2) 判断$\triangle BOC$的形状，并说明理由.

答案： 4.提示:
(1)由“SAS”可证△ABD≌△ACE.　
(2)由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE,由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB,得到∠OBC=∠OCB,可得BO=CO,即可得结论.

1. 等腰三角形的判定方法有哪几种?
2. 谈一谈等腰三角形的性质和判定的区别.

答案： 1. 两种，分别是定义法和等角对等边；2. 性质是已知等腰三角形得边或角相等，判定是由边或角关系判断是否为等腰三角形，即性质由形推量，判定由量推形。