《2025年名校课堂七年级数学上册人教版陕西专版》

阅读下面“将无限循环小数化为分数”的材料，并解决相应问题：
我们知道，分数$\frac{1}{3}$写为小数形式为$0.\dot{3}$，反之，无限循环小数$0.\dot{3}$写成分数形式为$\frac{1}{3}$. 一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式吗？如果可以，应怎样写呢？
【发现】先以无限循环小数$0.\dot{7}$为例进行讨论：
设$0.\dot{7}=x$. 由$0.\dot{7}=0.777\cdots$可知，$10x=7.777\cdots$.
$\therefore 10x=7+0.\dot{7}$，即$10x=7+x$，
解得$x=\frac{7}{9}$.
$\therefore 0.\dot{7}=\frac{7}{9}$.
【类比探究】再以无限循环小数$0.\dot{7}\dot{3}$为例，做进一步讨论：
无限循环小数$0.\dot{7}\dot{3}=0.737 373\cdots$，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到以下做法：
设$0.\dot{7}\dot{3}=x$. 由$0.\dot{7}\dot{3}=0.737 373\cdots$可知，$100x=73.737 373\cdots$.
$\therefore 100x=73+0.\dot{7}\dot{3}$，即$100x=73+x$，
解得$x=\frac{73}{99}$.
$\therefore 0.\dot{7}\dot{3}=\frac{73}{99}$.
【解决问题】
(1)把无限循环小数$0.\dot{4}$写成分数形式：$0.\dot{4}=$$\frac{1}{9}$.
(2)把无限循环小数$0.\dot{7}\dot{5}$写成分数形式.
(3)利用以上方法比较$0.\dot{9}$与$1$的大小关系，并说明理由.

答案：
(1)$\frac{1}{9}$
(2)设$0.\dot{7}\dot{5}=x$.由$0.\dot{7}\dot{5}=0.757575\cdots$可知.$100x = 75.757575\cdots$.
$\therefore 100x = 75 + 0.\dot{7}\dot{5}$.即$100x = 75 + x$,解得$x=\frac{25}{33}$$\therefore 0.\dot{7}\dot{5}=\frac{25}{33}$
(3)$0.\dot{9}=1$.
理由如下:设$0.\dot{9}=x$.由$0.\dot{9}=0.999\cdots$可知,$10x = 9.999\cdots$,$\therefore 10x = 9 + 0.\dot{9}$,即$10x = 9 + x$,解得$x = 1$.$\therefore 0.\dot{9}=1$.