《2025年名校课堂七年级数学上册人教版陕西专版》

综合与探究
【问题情境】
一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被 3 整除，那么这个自然数就能被 3 整除.
例如：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为 $a$，$b$，则通常记这个两位数为$\overline{ab}$，于是$\overline{ab}=10a + b = 9a+(a + b)$. 显然 $9a$ 能被 3 整除，因此，如果 $a + b$ 能被 3 整除，那么 $9a+(a + b)$ 就能被 3 整除，即$\overline{ab}$能被 3 整除.
【类比探究】
已知三位数$\overline{abc}$.
(1)$\overline{abc}=$100a + 10b + c.(请用含 $a$，$b$，$c$ 的代数式表示)
(2)若 $a + b + c$ 能被 3 整除，则三位数$\overline{abc}$就能被 3 整除. 请说出其中的道理.
【类比拓展】
判断一个三位数能否被 7 整除，只需看去掉这个数的末位数字后，所得到的数与此末尾数字 5 倍的和能否被 7 整除. 如果这个和能被 7 整除，则原数就能被 7 整除.
例如：三位数$\overline{abc}$去掉末位数字 $c$，得两位数$\overline{ab}$，再用$\overline{ab}$加上 $c$ 的 5 倍，所得的和为$\overline{ab}+5c$. 若$\overline{ab}+5c$是 7 的倍数，则$\overline{abc}$能被 7 整除.
(3)请说明“若$\overline{ab}+5c$是 7 的倍数，则$\overline{abc}$能被 7 整除”这个结论成立的理由.

答案：
(1)$100a + 10b + c$
(2)$\overline{abc}=100a + 10b + c = 99a + 9b + (a + b + c)=3(33a$
$+ 3b)+(a + b + c)$。$a$为正整数，$b,c$为整数，$\therefore 33a + 3b$为正整数。$\therefore 3(33a$
$+ 3b)$能被3整除。又$\because a + b + c$能被3整除，$\therefore 99a + 9b + (a + b + c)$能被3整除，
即$\overline{abc}$能被3整除。
(3)$\because ab + 5c = 10a + b + 5c$，$\therefore \overline{abc}=100a + 10b + c = 10(10a$
$+ b)+c = 10(10a + b + 5c - 5c)+c = 10(10a + b + 5c)-50c + c = 10(ab + 5c)-$
$49c$。$\because c$为整数，$\therefore 49c$能被7整除。又$\because ab + 5c$是7的倍数，$\therefore 10(ab + 5c)-$
$49c$能被7整除，即$\overline{abc}$能被7整除。