《2025年名校课堂七年级数学上册人教版陕西专版》

1. 湖南师大附中校本经典题 小亮在做“计算$(5x^{3}+2x^{4}y-3xy^{2})+(x^{3}+3xy^{2}+y^{3})-(6x^{3}-x^{2}y+2y^{2})$的值，其中$x=2,y=-1$”这道题时，把“$x=2$”错看成“$x=-2$”，但他计算的结果却是正确的. 请说明其中的原因.

答案： 解：原式$=5x^{3}+2x^{4}y-3xy^{2}+x^{3}+3xy^{2}+y^{4}-6x^{3}+x^{2}y^{2}-2y^{2}=2x^{4}y+y^{3}+x^{2}y^{2}-2y^{2}.\because$化简结果中只含有$x$的偶次项，且$2$和$-2$互为相反数，$\therefore$当$x=2$和$x=-2$时，计算结果相同．$\therefore$他计算的结果也是正确的.

2. (2023·西安高陵区期中)已知代数式$A=x^{2}+xy+2y-1$，马虎同学在计算“$A-B$”时，不小心错看成“$A+B$”，得到的计算结果为$2x^{2}-xy-4y+1$.
(1) 求$A-B$的计算结果.
(2) 若$A-B$的值与$x$的取值无关，求$y$的值.

答案： 1.解：原式$=5x^{3}+2x^{4}y-3xy^{2}+x^{3}+3xy^{2}+y^{4}-6x^{3}+x^{2}y^{2}-2y^{2}=2x^{4}y+y^{3}+x^{2}y^{2}-2y^{2}.\because$化简结果中只含有$x$的偶次项，且$2$和$-2$互为相反数，$\therefore$当$x=2$和$x=-2$时，计算结果相同．$\therefore$他计算的结果也是正确的.
2.解：
(1)$\because A+B=2x^{2}-xy-4y+1,\therefore B=(2x^{2}-xy-4y+1)-(x^{2}+xy+2y-1)=2x^{2}-xy-4y+1-x^{2}-xy-2y+1=x^{2}-2xy-6y+2.\therefore A-B=(x^{2}+xy+2y-1)-(x^{2}-2xy-6y+2)=x^{2}+xy+2y-1-x^{2}+2xy+6y-2=$
$3xy+8y-3.$
(2)由
(1)，得$A-B=3xy+8y-3.\because A-B$的值与$x$的取值无关，$\therefore 3y=0.\therefore y=0.$

3. 南京师大附中校本经典题 三个连续正整数的和能被 3 整除吗，为什么？三个连续的偶数呢？

答案： 3.解：三个连续正整数的和能被$3$整除；三个连续偶数的和能被$3$整除.理由如下：设三个连续正整数分别为$a,a+1,a+2$.则它们的和为$a+a+1+a+2=3a+3=3(a+1).\because a+1$为正整数，$\therefore 3(a+1)$能被$3$整除．$\therefore$三个连续正整数的和能被$3$整除.设三个连续偶数分别为$2b,2b+2,2b+4$(其中$b$为整数).则它们的和为$2b+2b+2+2b+4=6b+6=3(2b+2).\because b$为整数，$\therefore 2b+2$为整数．$\therefore 3(2b+2)$能被$3$整除．$\therefore$三个连续偶数的和能被$3$整除.

4. 北师大附属实验校本经典题 有左、中、右三堆棋子，数目相等，每堆至少有 4 枚. 现在依次进行如下操作：
第一步：从左堆中取出 3 枚放入中堆；
第二步：从右堆中取出 4 枚放入中堆；
第三步：从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆.
(1) 若开始时，每堆均有棋子 5 枚，则第三步操作结束后，左、中、右三堆棋子的数量分别是4枚、10枚、1枚.
(2) 小京认为，第三步操作结束后，中堆的棋子数与开始所放棋子数无关，始终是 10 枚. 你认为小京的说法正确吗？请说明理由.

答案： 4.解：
(1)$4$ $10$ $1$
(2)小京的说法正确.理由如下：设三堆棋子数均为$x$枚.则第一步操作后，左堆中还剩$(x-3)$枚，此时中堆有$(x+3)$枚；第二步操作后，右堆还剩$(x-4)$枚，此时中堆有$(x+3+4)$枚；第三步操作后，此时左堆有$2(x-3)$枚，中堆的棋子数为$(x+3+4)-(x-3)=10$(枚).因此中堆的棋子数是$10$枚.与开始所放棋子数无关.故小京的说法正确.