《2025年名校课堂七年级数学上册人教版陕西专版》

【例 1】如图，点 $C$ 在线段 $AB$ 上，$M$，$N$ 分别是 $AC$，$BC$ 的中点。

(1)若 $AC = 9\ cm$，$CB = 6\ cm$，则线段 $MN$ 的长为$\frac{15}{2}$ $cm$。
(2)若 $AC = a$，$CB = b$，则线段 $MN$ 的长为$\frac{a+b}{2}$。
(3)若 $C$ 为线段 $AB$ 上的任意一点，且 $AB = n$，其他条件不变，你能猜想 $MN$ 的长度吗？请用一句简洁的话描述你发现的结论。
【拓展提问】若将题干中的“点 $C$ 在线段 $AB$ 上”改为“点 $C$ 在线段 $AB$ 的延长线上”，其他条件不变，则(3)中的结论还成立吗？请画出图形，写出结论，并说明理由。
方法指导：
条件：如图，点 $C$ 在线段 $AB$ 所在的直线上，$M$，$N$ 分别是 $AC$，$BC$ 的中点。
结论：$MN=\frac{1}{2}AB$。

答案：
解:
(1)$\frac{15}{2}$　
(2)$\frac{a+b}{2}$　
(3)猜想:MN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$n.结论:若C为线段AB上的任意一点，且M,N分别是AC，BC的中点，则MN=$\frac{1}{2}$AB.
[拓展提问]　解:MN=$\frac{1}{2}$n成立.理由如下:如图，当点C在线段AB的延长线上时，

∵M,N分别是AC,BC的中点，
∴MC=$\frac{1}{2}$AC,NC=$\frac{1}{2}$BC.又
∵MN=MC−NC,
∴MN=$\frac{1}{2}$(AC−BC)=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$n.

1. 如图，线段 $AB$ 的长为 6，$C$ 是 $AB$ 的中点，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E$ 是 $AD$ 的中点，求线段 $AE$ 的长。

答案： 解:
∵C是AB的中点,
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=3.又
∵D是BC的中点，
∴BD =CD=$\frac{1}{2}$BC=1.5.
∴AD=AB−BD=6−1.5=4.5.
∵E是AD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=2.25.

2. (1)如图，已知点 $C$ 在线段 $AB$ 上，且 $AB = 20\ cm$，$BC = 8\ cm$，$M$，$N$ 分别是 $AB$，$BC$ 的中点，求线段 $MN$ 的长。
解：$\because AB = 20\ cm$，$M$ 是AB的中点，
$\therefore BM=$$\frac{1}{2}$ $AB = 10\ cm$。
$\because BC = 8\ cm$，$N$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore BN=$$\frac{1}{2}$ $BC = 4\ cm$。
$\therefore MN = BM -$BN $= 6\ cm$。
(2)若 $C$ 是线段 $AB$ 上任意一点，且 $AB = a\ cm$，$BC = b\ cm$，$M$，$N$ 分别是 $AB$，$BC$ 的中点，求线段 $MN$ 的长。(用含 $a$，$b$ 的代数式表示)

答案： 解:
(1)AB　$\frac{1}{2}$　$\frac{1}{2}$　BN　
(2)
∵AB=acm，M是AB的中点，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a cm.
∵BC=b，N是BC的中点，
∴BN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$b cm.
∴MN=BM−BN=$\frac{1}{2}$a - $\frac{1}{2}$b=$\frac{a−b}{2}$cm.