《2025年名校课堂七年级数学上册人教版陕西专版》

1. (2023·岳阳)观察下列式子：$1^{2}-1 = 1×0$；$2^{2}-2 = 2×1$；$3^{2}-3 = 3×2$；$4^{2}-4 = 4×3$；$5^{2}-5 = 5×4\cdots\cdots$
依此规律，则第$n$($n$为正整数)个等式是$n^{2}-n=n(n - 1)$。

答案： $n^{2}-n=n(n - 1)$

2. (2024·云南改编)有一组按一定规律排列的代数式：$2x$，$3x^{2}$，$4x^{3}$，$5x^{4}$，$6x^{5}$，$\cdots$，则第$n$个代数式是(n + 1)x^{n}。

答案： $(n + 1)x^{n}$

3. 符号“$f$”“$g$”分别表示一种运算，它们对一些数的运算结果如下：
(1)$f(1)=0$，$f(2)=1$，$f(3)=2$，$f(4)=3$，$\cdots$，$f(10)=9\cdots\cdots$
(2)$g(\frac{1}{2}) = 2$，$g(\frac{1}{3}) = 3$，$g(\frac{1}{4}) = 4$，$g(\frac{1}{5}) = 5$，$\cdots$，$g(\frac{1}{11}) = 11\cdots\cdots$
利用以上规律计算：$g(\frac{1}{2025}) - f(2025) =$1。

答案： 1

4. 观察这组数：$\frac{2}{3}$，$\frac{6}{9}$，$\frac{12}{27}$，$\frac{20}{81}$，$\frac{30}{243}$，$\cdots$，它们是按一定规律排列的，那么这组数的第$n$个数是$\frac{n(n + 1)}{3^{n}}$。

答案： $\frac{n(n + 1)}{3^{n}}$

5. 湖南师大附中校本经典题
如图，我们做一个游戏：从大拇指开始，按照大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→食指…的顺序依次数正整数$1$，$2$，$3$，$4$，$5\cdots$。当第$n$次数到中指时，恰好数到的数是4n - 1(用含$n$的代数式表示)。

答案： $4n - 1$

6. (2023·重庆)用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了$9$根木棍，第②个图案用了$14$根木棍，第③个图案用了$19$根木棍，第④个图案用了$24$根木棍……按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是(B)


A.$39$
B.$44$
C.$49$
D.$54$

答案： B

7. (2024·安康汉滨区期末)如图，每个图案均是由长度相等的火柴棒按一定的规律拼接而成的。第$1$个图案需要$8$根火柴棒；第$2$个图案需要$14$根火柴棒；第$3$个图案需要$20$根火柴棒……依此规律拼下去。
(1)第$4$个图案需要火柴棒26根，第$n$个图案需要火柴棒(6n + 2)根(用含$n$的式子表示)。
(2)第几个图案中需要$602$根火柴棒？

答案：
(1)26 (6n + 2)
(2)由题意，得$6n + 2 = 602$，解得$n = 100$．
∴第100个图案需要602根火柴棒．

8. 新考向 推理能力 下列数阵是由$50$个偶数按照$5×10$排成的，框内有四个数。
(1)猜测：图中框内四个数之和与数字$4$有什么关系？
(2)在数阵中任意画一个类似于(1)中的框，设左上角的数为$x$，那么怎样表示其他三个数？
(3)任意移动这个框，是否都能得到(1)中的结论？你能说明理由吗？

答案：
(1)图中框内四个数之和能被4整除．
(2)其他三个数分别为$x + 2$，$x + 12$，$x + 14$．
(3)能．理由如下：$x + x + 2 + x + 12 + x + 14 = 4x + 28 = 4(x + 7)$．
∵$x$为整数，
∴$x + 7$为整数．
∴任意移动这个框，框内四个数之和都能被4整除．